Основно съдържание
Курс: Диференциални уравнения > Раздел 1
Урок 5: Експоненциални модели- Експоненциални модели и диференциални уравнения (част 1)
- Експоненциални модели и диференциални уравнения (част 2)
- Решен пример: експоненциално решение на диференциално уравнение
- Диференциални уравнения: уравнения, представящи експоненциални модели
- Закон на Нютон за охлаждането
- Решен пример: Закон на Нютон за охлаждането на телата
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Закон на Нютон за охлаждането
Законът на Нютон за охлаждането на телата може да бъде моделиран с общото уравнение dT/dt=-k(T-Tₐ), чийто решения са T=Ce⁻ᵏᵗ+Tₐ (за охлаждането и T=Tₐ-Ce⁻ᵏᵗ (за нагряването).
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Да разгледаме още една ситуация, която можем да моделираме
чрез диференциални уравнения. При този сценарий
взимаме едно тяло, което е по-горещо или по-студено
от околната температура в стаята. Искаме да представим
колко бързо то ще се охлади или затопли. Ще си обясним как го прави
по същия начин, по който си го е обяснил
Нютон. Това е описано като
Закон на Нютон за охлаждането. До голяма степен той
е очевиден и от обща култура. Законът гласи, че скоростта
на промяна на температурата трябва да е пропорционална
на разликата между температурата на обекта
и околната температура. Нека го запиша математически. Законът на Нютон за охлаждането
гласи, че скоростта на промяна на температурата, ще я обознача с голяма буква Т, спрямо времето,
то е с малка буква t, е пропорционална на разликата между температурата на обекта и околната температура. Това е математическият запис
на закона. Отново казвам,
че той е полезен в практиката. Ако нещо е много, много
по-горещо от заобикалящата го среда,
то промяната на температурата ще е доста бърза, тялото бързо ще губи температура. Ако пък имаме тяло,
което е много по-студено от нея, то бързо ще увеличава
температурата си. А пък ако температурата на тялото е доста близка до околната,
тогава скоростта на промяна няма да е толкова голяма. Предполагам какво си мислиш сега. Нали ако температурата е по-голяма от околната, то обектът
трябва да се охлажда. Температурата му трябва да намалява. Намаляващата температура
предполага да имаме отрицателна моментна промяна. Как тогава тази стойност
ще стане отрицателна, в случая, когато температурата
на нашия предмет е по-голяма от околната? За да се получи това, ще трябва да имаме
отрицателна константа k. Ако ти е трудно да разсъждаваш
с отрицателна k, можеш просто да сложиш тук
знака минус и да използваш положителна k. Вече изглежда логично. Ако нашият предмет е по-топъл,
ако температурата му е по-висока от околната температура,
тази разлика ще е положителна, а скоростта на промяна
ще е отрицателна, предметът ще се охлажда.
Ако беше обратният случай, ако температурата на предмета
е по-ниска от околната, тогава тази разлика ще има отрицателна стойност,
а умножена с минуса ще се получи положителна скорост,
като приемаме k за положително. Тогава температурата му
ще се покачва. Надявам се, че вече стана
по-ясно. Сега за константата k:
тя може да зависи от специфичния топлинен капацитет на тялото,
от лицето на неговата повърхност, която е в контакт със средата
и други фактори. След като имам това,
да видя дали мога да намеря общо решение на това
диференциално уравнение. Принаквам те да оставиш
видеото на пауза и да опиташ, а аз ще ти дам подсказка. Това е диференциално уравнение
с отделящи се променливи. Предполагам, че вече направи
своя опит. Сега да проследим решението
заедно. Трябва просто да преобразувам
алгебрично това уравнение, за да преместя всички
T и dT от едната страна. Тоест всички членове с температурата
да са от едната страна, нека не се объркваме с буквите, защото тук имаме
и малка, и голяма буква Т. Голямата буква Т е за температурата,
а малката t е за времето. Сега можем да продължим. После ще отделя всички
диференциали за времето и променливите за времето
от другата страна. За целта мога да разделя
двете страни на Т минус околната температура,
Та. Запомни, че това ще е
някаква константа според това колко е
околната температура. Ще приемем, че околната
температура не се променя според времето. Стаята е толкова голяма,
че една чаша чай не може да затопли
въздуха в нея. Това е просто едно
предположение, което тук ще приемем
за вярно. Ако направим това
и разделим двете страни на този израз,
получаваме... от двете страни ще разделя, да го отлича с друг цвят, разделям на този израз,
значи да умножа по 1 върху Т минус Та
всяка от страните, и после ще умножа
по диференциала на времето. Получавам dT, диференциала
на температурата, върху разликата от температурите е равно на –k по диференциала
на времето. Тук отново, за да отделим
променливите, просто разделих двете страни
на този израз на едната от тях и умножих двете страни
по диференциала на другата. Вече мога да интегрирам
двете страни, както вече знаем. Двете страни
са интегрируеми. Интегралът на тази е равен на натуралния
логаритъм от абсолютната стойност на израза от знаменателя. Ако искаш,
можеш да направиш заместване с u. Ако приемем, че u = T - Ta, тогава du ще е равно на
1 по dT, така от лявата страна
имаме интеграл от 1/u du, който е равен на
натурален логаритъм от абсолютната стойност на u, където u е равно на този израз. И така, имам натуралния логаритъм
от абсолютната стойност на T минус Ta, равно на... тук отново
ще сложа константа, но ще имам втора константа и от дясната страна, затова
от двете константи ще направя една произволна константа
от дясната страна. Този интеграл е равен на минус kt и накрая остава
плюс константата С. Сега можем да повдигнем Е
на тези две степени, или казано по друг начин, Е на степен този израз
ще е равно на това. Можем да го запишем като
абсолютната стойност, ще използвам същия син цвят, Записваме го като
абсолютната стойност от T - Ta е равно на Е на степен...
когато става въпрос за Е, винаги си го представям в зелено,
не знам защо. и така, Е на степен
- kt + C. Разбира се, това е равносилно на това, тук имаме Е на степен –kt. Правили сме подобно нещо
вече много пъти. Е на степен минус kt,
по Е на степен С. Можем да запишем това
и като друга произволна константа. Можем да я наречем С1,
но за по-лесно ще наречем и цялото това нещо С. Дясната страна стана
С по Е на степен –kt. Вече започна да прилича
на урока, в който правехме модел на популация. Ще видим, че е малко
по-различно. Тук отляво, вместо
само температура имаме температурата
минус околната температура. Сега има някои неща,
които можем да направим. Да си представим реален случай
с гореща чаша чай или нещо, по-горещо
от околната си температура. В този случай Т е по-голямо или равно на околната температура. Това значи, че предметът
е по-топъл от нея. Ако си имаме работа с нещо, което е по-топло
от околната си температура, тогава изразът, от който търсим абсолютна стойност ще е положително. Затова можем да премахнем знака
за абсолютна стойност, или абсолютната стойност ще е равна на този израз. Сега можем просто да добавим
Та към двете страни и след това ще имаме
нашата температура, която дори можем да запишем
като функция на времето, тя е равна на целия
този израз: С по Е на степен, ще запазя цвета, на степен –kt плюс Та. Тук започнах с предположението, че изразът в знака за
абсолютна стойност е положителен, тоест абсолютната стойност
няма да промени нищо. После добавих Та към двете страни,
за да получа това. Тази функция тук е общото решение за случая, когато имаме по-топъл от околната си среда
предмет. За да разгледаме случая
с по-студен предмет от околната му температура, ще вземем Т
по-малко от околната температура Та
на стаята. Тогава изразът
в абсолютната стойност ще бъде отрицателен,
значи неговата абсолютна стойност ще бъде неговото противоположно. Тук получаваме Та минус Т. Това е равно на абсолютната стойност
в този случай, това е противоположното
на отрицателното число. Тогава това ще е равно на
C по Е на степен –kt плюс... нека се върна малко... Та минус Т е равно на С по Е на степен –kt, когато Т е по-малко от Та. За да намерим Т от тук,
ще добавим Т към двете страни и ще извадим този израз
от двете страни. Ще получим Т като функция на t
е равно на... Така, това идва от тази страна, а това отива от тази страна,
тук става Ta минус C по E на степен –kt. Правилно ли сметнах? Да, изглежда добре. Това е в случая,
че предметът е по-студен
от околната температура. Въз основа на логиката на Закона на Нютон за охлаждането,
това са общите решения на това диференциално уравнение. В следващия урок
ще го приложим на практика, за да представим бързината
на охлаждане или стопляне на нещо.