If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:10:02

Видео транскрипция

Да разгледаме още една ситуация, която можем да моделираме чрез диференциални уравнения. При този сценарий взимаме едно тяло, което е по-горещо или по-студено от околната температура в стаята. Искаме да представим колко бързо то ще се охлади или затопли. Ще си обясним как го прави по същия начин, по който си го е обяснил Нютон. Това е описано като Закон на Нютон за охлаждането. До голяма степен той е очевиден и от обща култура. Законът гласи, че скоростта на промяна на температурата трябва да е пропорционална на разликата между температурата на обекта и околната температура. Нека го запиша математически. Законът на Нютон за охлаждането гласи, че скоростта на промяна на температурата, ще я обознача с голяма буква Т, спрямо времето, то е с малка буква t, е пропорционална на разликата между температурата на обекта и околната температура. Това е математическият запис на закона. Отново казвам, че той е полезен в практиката. Ако нещо е много, много по-горещо от заобикалящата го среда, то промяната на температурата ще е доста бърза, тялото бързо ще губи температура. Ако пък имаме тяло, което е много по-студено от нея, то бързо ще увеличава температурата си. А пък ако температурата на тялото е доста близка до околната, тогава скоростта на промяна няма да е толкова голяма. Предполагам какво си мислиш сега. Нали ако температурата е по-голяма от околната, то обектът трябва да се охлажда. Температурата му трябва да намалява. Намаляващата температура предполага да имаме отрицателна моментна промяна. Как тогава тази стойност ще стане отрицателна, в случая, когато температурата на нашия предмет е по-голяма от околната? За да се получи това, ще трябва да имаме отрицателна константа k. Ако ти е трудно да разсъждаваш с отрицателна k, можеш просто да сложиш тук знака минус и да използваш положителна k. Вече изглежда логично. Ако нашият предмет е по-топъл, ако температурата му е по-висока от околната температура, тази разлика ще е положителна, а скоростта на промяна ще е отрицателна, предметът ще се охлажда. Ако беше обратният случай, ако температурата на предмета е по-ниска от околната, тогава тази разлика ще има отрицателна стойност, а умножена с минуса ще се получи положителна скорост, като приемаме k за положително. Тогава температурата му ще се покачва. Надявам се, че вече стана по-ясно. Сега за константата k: тя може да зависи от специфичния топлинен капацитет на тялото, от лицето на неговата повърхност, която е в контакт със средата и други фактори. След като имам това, да видя дали мога да намеря общо решение на това диференциално уравнение. Принаквам те да оставиш видеото на пауза и да опиташ, а аз ще ти дам подсказка. Това е диференциално уравнение с отделящи се променливи. Предполагам, че вече направи своя опит. Сега да проследим решението заедно. Трябва просто да преобразувам алгебрично това уравнение, за да преместя всички T и dT от едната страна. Тоест всички членове с температурата да са от едната страна, нека не се объркваме с буквите, защото тук имаме и малка, и голяма буква Т. Голямата буква Т е за температурата, а малката t е за времето. Сега можем да продължим. После ще отделя всички диференциали за времето и променливите за времето от другата страна. За целта мога да разделя двете страни на Т минус околната температура, Та. Запомни, че това ще е някаква константа според това колко е околната температура. Ще приемем, че околната температура не се променя според времето. Стаята е толкова голяма, че една чаша чай не може да затопли въздуха в нея. Това е просто едно предположение, което тук ще приемем за вярно. Ако направим това и разделим двете страни на този израз, получаваме... от двете страни ще разделя, да го отлича с друг цвят, разделям на този израз, значи да умножа по 1 върху Т минус Та всяка от страните, и после ще умножа по диференциала на времето. Получавам dT, диференциала на температурата, върху разликата от температурите е равно на –k по диференциала на времето. Тук отново, за да отделим променливите, просто разделих двете страни на този израз на едната от тях и умножих двете страни по диференциала на другата. Вече мога да интегрирам двете страни, както вече знаем. Двете страни са интегрируеми. Интегралът на тази е равен на натуралния логаритъм от абсолютната стойност на израза от знаменателя. Ако искаш, можеш да направиш заместване с u. Ако приемем, че u = T - Ta, тогава du ще е равно на 1 по dT, така от лявата страна имаме интеграл от 1/u du, който е равен на натурален логаритъм от абсолютната стойност на u, където u е равно на този израз. И така, имам натуралния логаритъм от абсолютната стойност на T минус Ta, равно на... тук отново ще сложа константа, но ще имам втора константа и от дясната страна, затова от двете константи ще направя една произволна константа от дясната страна. Този интеграл е равен на минус kt и накрая остава плюс константата С. Сега можем да повдигнем Е на тези две степени, или казано по друг начин, Е на степен този израз ще е равно на това. Можем да го запишем като абсолютната стойност, ще използвам същия син цвят, Записваме го като абсолютната стойност от T - Ta е равно на Е на степен... когато става въпрос за Е, винаги си го представям в зелено, не знам защо. и така, Е на степен - kt + C. Разбира се, това е равносилно на това, тук имаме Е на степен –kt. Правили сме подобно нещо вече много пъти. Е на степен минус kt, по Е на степен С. Можем да запишем това и като друга произволна константа. Можем да я наречем С1, но за по-лесно ще наречем и цялото това нещо С. Дясната страна стана С по Е на степен –kt. Вече започна да прилича на урока, в който правехме модел на популация. Ще видим, че е малко по-различно. Тук отляво, вместо само температура имаме температурата минус околната температура. Сега има някои неща, които можем да направим. Да си представим реален случай с гореща чаша чай или нещо, по-горещо от околната си температура. В този случай Т е по-голямо или равно на околната температура. Това значи, че предметът е по-топъл от нея. Ако си имаме работа с нещо, което е по-топло от околната си температура, тогава изразът, от който търсим абсолютна стойност ще е положително. Затова можем да премахнем знака за абсолютна стойност, или абсолютната стойност ще е равна на този израз. Сега можем просто да добавим Та към двете страни и след това ще имаме нашата температура, която дори можем да запишем като функция на времето, тя е равна на целия този израз: С по Е на степен, ще запазя цвета, на степен –kt плюс Та. Тук започнах с предположението, че изразът в знака за абсолютна стойност е положителен, тоест абсолютната стойност няма да промени нищо. После добавих Та към двете страни, за да получа това. Тази функция тук е общото решение за случая, когато имаме по-топъл от околната си среда предмет. За да разгледаме случая с по-студен предмет от околната му температура, ще вземем Т по-малко от околната температура Та на стаята. Тогава изразът в абсолютната стойност ще бъде отрицателен, значи неговата абсолютна стойност ще бъде неговото противоположно. Тук получаваме Та минус Т. Това е равно на абсолютната стойност в този случай, това е противоположното на отрицателното число. Тогава това ще е равно на C по Е на степен –kt плюс... нека се върна малко... Та минус Т е равно на С по Е на степен –kt, когато Т е по-малко от Та. За да намерим Т от тук, ще добавим Т към двете страни и ще извадим този израз от двете страни. Ще получим Т като функция на t е равно на... Така, това идва от тази страна, а това отива от тази страна, тук става Ta минус C по E на степен –kt. Правилно ли сметнах? Да, изглежда добре. Това е в случая, че предметът е по-студен от околната температура. Въз основа на логиката на Закона на Нютон за охлаждането, това са общите решения на това диференциално уравнение. В следващия урок ще го приложим на практика, за да представим бързината на охлаждане или стопляне на нещо.