If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:8:22

Видео транскрипция

Да решим още едно хомогенно диференциално уравнение от първи ред, а по-късно ще решаваме хомогенни линейни диференциални уравнения. Имаме тази задача: производната на Y спрямо Х е равна на Х на квадрат плюс 3Y на квадрат... Пиша по-сбито, за да не свърши мястото. Разделено на 2ХY. Все още не знаем дали това уравнение е хомогенно. За да разберем, да опитаме да го представим като функция на Y делено на Х. Изглежда, че можем да го направим, като разделим числителя и знаменателя на Х на квадрат. Ще използвам различен цвят. Умножавам по 1 върху Х на квадрат, или по 1 на степен минус 2, отдолу също по 1 върху Х квадрат. Това е като да умножим по 1. На какво е равно това? 1 плюс 3Y на квадрат върху Х на квадрат делено на 2 по Y, имам Х върху Х квадрат, значи върху Х. Можем и да преобразуваме целия израз, става 1 плюс 3 по Y/Х на квадрат делено на 2 по Y/Х. Получихме, че уравнението е хомогенно. Защото успяхме да го представим като функция на Y/Х Сега можем да направим заместване с V. Надявам се това вече да ти е съвсем лесно. Заместваме с V равно на Y/Х. Това може да се представи и като Y = XV. Това прави, че производната на Y спрямо Х, това е производната на лявата страна на това, е равна на производната на дясната му страна, и тя е 1 по V, според правилото за диференциране на произведение, плюс Х по производната на V спрямо Х. Вече можем да заместим производната на Y спрямо Х с получения израз. Дясната страна на уравнението е това. Можем да заместим Y/Х с V. Да го направим. Получаваме V плюс Х по, вместо dV/dХ ще пиша V прим, за по-кратко. V прайм е равно на 1 плюс правим заместването с V = Y/X. 3V на квадрат, всичко това върху 2V. Сега да видим какво можем да направим. Сега ще използваме алгебра, за да опростим това, докато получим уравнение с отделимо V. Хайде. Да умножим двете страни на уравнението по 2V. Получаваме 2V на квадрат плюс 2ХV по V прим равно на 1 плюс 3V на квадрат. Сега да извадим 2V на квадрат от двете страни. Остава ни 2ХV по V прим равно на 1 плюс, да видим, извадили сме 2V на квадрат от двете страни, значи тук остава 1 плюс V на квадрат, нали така? Да, 3V на квадрат минус 2V на квадрат е само V на квадрат. Искаме да отделим V, затова да преместим всички членове с V от лявата страна. Получаваме 2ХV по V прим делено на 1 плюс V на квадрат равно на 1. Сега да разделим двете страни на Х. Така всички хиксове ще отидат от другата страна. Получавам 2V по... сега ще премина обратно към предишния запис, вместо V прим ще запиша dV/dХ. 2V по производната на V спрямо Х, делено на 1 плюс V на квадрат е равно на... разделих на Х, затова отляво вече няма Х, значи отдясно става 1 върху Х. Сега да умножим двете страни на уравнението по dX. Така ще отделим двете променливи и ще можем да интегрираме всяка от страните. Да го направим. Ще се върнем нагоре. Сменям цвета, защото работя в друга колона. Умножавам двете страни по dX. Получавам 2V върху 1 плюс V на квадрат, цялото по dV равно на 1 върху Х по dX. Сега да интегрираме двете страни на това уравнение. То е с отделими променливи V и Х. Колко е интегралът от това? Може да ти изглежда сложно на пръв поглед. Това е трудно, може дори да е някаква тригонометрична функция. Но ще видиш, че това е просто верижното правило наобратно. Тук имаме една функция, 1 плюс V на квадрат, изразът в знаменателя, а тук се е скрила нейната производна. Можеш да използваш и заместване, ако искаш, за да намериш примитивната функция. Можеш да заместиш с U равно на 1 плюс V на квадрат; тогава dU ще е равно на 2V по dV. Накрая можеш да кажеш, че примитивната функция е натуралният логаритъм от това U. В нашия случай примитивната функция на израза в знаменателя е натуралният логаритъм от 1 плюс V на квадрат. Тук дори не е нужно да пишем абсолютна стойност, защото стойността винаги ще бъде положителна. И така, натурален логаритъм от 1 плюс V на квадрат. Надявам се да следиш мисълта ми. Ако имам някакъв израз, умножен по неговата производна, то мога да използвам примитивната функция на целия израз. Не е нужно да се тревожа какъв е самият израз. Ако изразът е 1 върху U, то тя е равна на натуралния логаритъм от U. Ето така намерих тази примитивна функция. За да се увериш, можеш чрез верижното правило да намериш производната ѝ и да получиш изходния израз. Така се надявам да стане по-ясно. И така, това е лявата страна и тя е равна на... това вече е лесно. Това е натурален логаритъм от абсолютната стойност на Х. Можем да добавим и константата С, но за да ни е по-лесно после, ще представим тази произволна константа като натурален логаритъм от абсолютната стойност на произволна константа С. Това също е произволна константа. Можем да преобразуваме уравнението като натурален логаритъм от 1 плюс V на квадрат равно на... имаме сбор на натурални логаритми и можем да умножим двете числа, от които търсим логаритъм. Става натурален логаритъм от абсолютната стойност на С по Х. И така, този натурален логаритъм е равен на друг натурален логаритъм. Следователно 1 плюс V на квадрат е равно на С по Х. Вече можем да заместим обратно с V = Y/X. Получаваме 1 плюс Y/Х на квадрат равно на С по Х. Искам още място. Да умножим двете страни на това уравнение по Х на квадрат. Преобразуваме този член като Y на квадрат върху Х на квадрат. Сега умножаваме двете страни по Х на квадрат: Х на квадрат плюс Y на квадрат е равно на С по Х на трета. На практика сме готови. Можем да го приведем във вид, като преместим променливите отляво: Х на квадрат плюс Y на квадрат минус С по Х на трета е равно на нула. Тази неявно дефинирана функция или крива, или както искаш да го наречеш, е решението на даденото ни хомогенно диференциално уравнение от първи ред. Това е. В следващото видео ще правим нещо различно. Ще се занимаваме с диференциални уравнения от по-висок ред. Те са използвани повече и дори, в известен смисъл, са по-лесни за решаване от хомогенните и от обикновените диференциални уравнения, които решавахме досега. Ще се видим в следващия урок.