Модел на логистичен растеж

В последното видео набързо въведохме моделирането на популация като функция на времето. Предположихме, че скоростта на промяна на популацията по отношение на времето е пропорционална на самата популация. Че скоростта ще се увеличи с увеличаването на популацията. Когато опитахме да решим това диференциално уравнение, като потърсихме такава функция N(T), която изпълнява това, разбрахме, че става с показателна функция. Показателната функция удовлетворява това уравнение. Нейната графика изглежда така. Ето как изглежда графиката ѝ. Когато започваме от популация с дадена стойност N нула, това е оста на времето, а това е оста на популацията. С увеличаване на времето популацията нараства експоненциално. Казахме, че тук има проблем. Ами ако Томас Малтус е прав? Ако околната среда не може да поддържа, да приемем това, ще използвам друг цвят, да приемем, че околната среда не може да поддържа по-голяма популация от някаква стойност К. Тогава е очевидно, че популацията не може да расте безгранично. Нейните индивиди няма да имат храна, вода или други необходими им ресурси. Те може да натрупат твърде много замърсяване. Може да е всичко. И така, този наш първи опит да моделираме популацията не върши работа. Особено, ако си на страната на Малтус. Тук идва Пиер Франсоа със сложната за произнасяне фамилия Ферхюлст. Той е прочел работата на Малтус и си е казал, че може да се справи с моделирането на такъв тип поведение, за който говори Малтус. Той е потърсил нещо друго. Нещо такова... Нека да запиша, да се опитам да моделирам с различно диференциално уравнение. Да кажем, че когато N е значително по-малко от лимита, който околната среда може да поддържа, тогава е логично да има експоненциален растеж. Но този растеж може да се потуши и дори да се доведе до нула, когато N се доближава до К. Как да видоизменим това? Може би да го умножим с нещо, като за малките стойности на N, когато N е много по-малко от К, този множител да бъде близък до единица, а когато N е близо до К, той да е близък до нула. Ще запиша това. Това са условията ни за този множител тук. Когато N е много по-малко от К, тогава популацията не е ограничена, индивидите могат да се размножават, и тяхното поколение може да се изхрани и на свой ред да има поколение и така нататък, и така нататък... тогава този множител ще е близък до 1. Така ще имаме на практика нашия предишен модел. Но когато N се доближава до К, тогава този множител, този член от израза трябва да се доближава до нула. Ефектът на това е, че когато N се доближава до естествената граница или тавана на популацията, тогава без значение какво е поведението на другия член, щом този множител се стреми към нула, то стойността на самата функция, скоростта на растежа ще клони към нула. Храната ще става все по-оскъдна, ще е все по-трудно да се намират неща. И така, какво мога да поставя тук, което съдържа N и К и има тези свойства? От любопитство можеш да оставиш видеото на пауза и да опиташ да построиш някакъв прост алгебричен израз, като използваш N и К и може би числото 1, ако е нужно, за да получиш израз с тези свойства. Да видим. Ако започнем с 1 и извадим от него N върху К? Този израз ще има ли такива свойства? Разбира се, да. Когато N е много малко, по-точно, когато то е малка част от K, тази дроб ще е малка, и целият този израз ще бъде много близък до 1. Той ще е малко по-малък от 1. А когато N се доближава до К, когато N става все по-близко до К, тогава тази дроб ще става близка до 1, което ще направи този целият израз да се доближава до 0. Това е точно каквото търсехме. Изразът, който намерихме има множество приложения, не само при моделиране на популации. Това е само едно от първите му приложения. Диференциалното уравнение, което получихме, е доста известно. То се нарича логистично диференциално уравнение. В следващото видео ще го решим. При него променливите са отделими. Можеш да го решиш само чрез стандартните техники на интегриране. То е малко по-сложно от предишното, затова ще го решим заедно. И ще разгледаме решението. Решението на логистичното диференциално уравнение е логистичната функция, която моделира популацията така. Но преди да го решим, да анализираме това диференциално уравнение, да помислим как може да изглежда неговата графика. За целта, нека да начертаем координатна система. Ще начертая осите. Това е оста на времето, а това е оста на популацията. Искам повече място. Понякога субтитрите се появяват тук и скриват чертежа. Да помислим за няколко различни ситуации. В началното състояние, N в момент Т равно на нула, нали N е функция от Т, ако в момент Т=0 имаме N(0) = 0, то тогава този множител ще е равен на нула и скоростта на промяната ще бъде също нула, популацията няма да се увеличава. Това е добре. Защото ако популацията е нула, как изобщо ще може популацията да нарасне? Няма кой да създаде поколение. Намерихме едно константно решение на това диференциално уравнение, което е просто N(T) = 0. То удовлетворява това логистично диференциално уравнение. Ако популацията започва като 0 т.е. ако N нула е нула, тогава тя завинаги ще остане нула. Това очакваме да се случи и в реалността, ако няма индивиди, които да имат деца. А сега да помислим за друга ситуация. Какво ще стане с популацията, ако N нула е равно на К? Ако началната стойност на N е равна на това К тук, ако в момента от време Т=0 това е нашата популация. Ако N=K, този множител е 1 минус 1, тогава това ще е равно на 0 и скоростта на промяна на популацията също ще бъде нула. Получихме, че ако популацията започне като К, то след някакво време тя все ще остане равна на К. Ако скоростта на промяна на популацията е нула, това означава, че популацията остава постоянна. Размерът ѝ ще остане равен на К. Това е доста вероятно. Малтус вероятно би казал, че е възможно тя да порасне малко над капацитета на околната си среда и после да се случи наводнение, или ураган или глад, и това отново да се повтори. Но за нашите цели това е достатъчно, тъй като не можем да моделираме никакво явление съвсем перфектно. За нашите цели това уравнение е добро. Достигнахме границата на околната среда, и оставаме там. Това е още едно константно решение. То гласи, че N(T) при дадено начално условие, и сега разбираш колко важно е то, ако започнем от популация 0, тя ще остане 0, а ако започнем от К, то тя ще остане К. Така N(T) просто остава К. Но нека сега да помислим за един по-интересен сценарий. Да предположим, че началната популация е някъде между нула и К. Нека тя да бъде... ще предположа за начална популация някакво число, по-голямо от нула, за да има индивиди, които да имат деца, и по-малко от К, за да не изчерпваме напълно капацитета на околната среда. Той може да е от земя, храна или вода, или друг важен ресурс. Какво ще се случи? Отново само ще скицирам графично, а в следващото видео ще го решим. Когато N е много по-малко от К, то е малка част от К и този множител ще бъде основният, който влияе на стойността на функцията. Защото, когато N е малка част от К, дори както съм го начертал, N изглежда да е 1/6 или 1/7 или 1/8 от К, тук ще получим 1 минус 1/8, то ще е 7/8 от това. Реално RN е множителят, който ще определя скоростта на растежа. Той допринася най-много за стойността на функцията. Да си го представим така. Докато популацията расте, скоростта на растежа също ще расте. Това ще изглежда така. Популацията става по-голяма, а наклонът на функцията става по-стръмен. Графиката става все по-устремена нагоре. Но после, когато N се приближава до К, това ще стане близко до 1 минус... минус число, близко до 1. Тогава това ще стане много малко число, и то ще накара цялата функция да се стреми към нула. И така, когато N се доближава до К, цялото това, скоростта на промяната, ще изправи графиката си. Ще се получи асимптота към К. И така, решението на логистичното диференциално уравнение трябва да изглежда така. То зависи от началните условия. Ако началните условия са такива, то ще има такова поведение. Ако пък началното състояние е това, решението ще се държи така. Това е забавното, когато работим с диференциални уравнения. Преди да пристъпиш към самите изчисления, може да придобиеш представа, като мислено преминеш през диференциалното уравнение и си представиш възможните му решения. В долната част, където N е много по-малко от К, скоростта на нарастване се увеличава, когато N се увеличава, а с времето, когато N се доближава до К, скоростта на нарастване намалява. В следващото видео ще видим и самото решение за дадено N и ще разберем дали това потвърждава разсъжденията ни.