Уравнения с разделящи се променливи (стар видеофилм)

Диференциални уравнения с разделящи се променливи Надявам се, че вече знаете какво е диференциално уравнение, така че нека се опитаме да решим някое такова. Първият клас от диференциални уравнения, с който ще ви запозная, са така наречените частни диференциални уравнения. И мисля, че ще видите, как за решаването им няма да е необходимо да учите какъвто и да е бил нов метод. Просто ще използваме каквото знаем от първата година математически анализ (производни и интегриране), за да решаваме частни диференциални уравнения. Причината, поради която тези уравнения се наричат частни, е защото можете да разделите функциите на х и на у, и да интегрирате отделно по х и по у, за да получите решението на диференциалното уравнение. Това означава частни. Частни диференциални уравнения. Нека решим няколко и мисля, че ще схванете идеята. Решаването е по-скоро упражнение по алгебра, отколкото нещо друго. Нашето първо частно диференциално уравнение е dy над dx е равно на х на квадрат делено на 1 минус у на квадрат. Всъщност сега е добър момент да си припомним терминологията. Първо, от какъв ред е това диференциално уравнение? Най-високата производна в него е първата производна, така че имаме уравнение от първи ред. Първи ред. Уравнението е обикновено, понеже имаме само обикновена производна, и нямаме частни производни. И накрая, линейно ли е или не това уравниение? На пръв поглед можем да кажем, че изглежда линейно. Не умножавам по производните, по нищо. Обаче ако погледнем внимателно, ще забележим нещо интересно. Първо, имаме у на квадрат. И у е зависима променлива. у е функция на х. Така че, фактът, че имаме у на квадрат прави уравнението нелинейно. И дори и да имахме само у, ако умножим двете страни на уравнението на 1 минус у, и след това приведем всичко във вида, който ви показах в предното уравнение. Това всъщност е първата стъпка която трябва да направим така или иначе, затова ще я запиша внимателно. Умножавам двете страни на уравнението по 1 минус у на квадрат, и получавам 1 минус у на квадрат по dy dx е равно на х на квадрат И сега виждаме непосредствено че дори и да не беше у на квадрат, а само у, щяхме да умножаваме у по dy dx и това щеше да направи уравнението нелинейно, защото умножаваме зависимата променлива по производната й. Това прави уравнението нелинейно. Така или иначе, нека решим това уравнение. Това беше първата стъпка. Просто умножих двете страни по 1 минус у на квадрат. Крайната ни цел е да разделим у-ците от x-овете, и след това да интегрираме двете страни. Това почти сме го постигнали. Това което ми остава да направя е да умножа двете страни на уравнението по dx, така че да се отърва от dx от тази страна. Нека пиша тук така че да не изхабя твърде много място. Получавам 1 минус у на квадрат dy е равно на x на квадрат dx. Така успях да разделя променливите х и у, както и диференциалите. Всичко което направих беше просто да умножа двете страни на уравнението по dx. Сега просто остава да интегрирам двете страни. Нека го направим. Каквото и да правим от едната страна на уравнението трябва да го направим и от другата страна. Това важи за стандартни уравнения и за диференциални уравнения. Така че, трябва да интегрираме и двете страни. На колко е равен интеграл от тази функция по отношение на у? Да видим. Интеграл от 1 е у, интеграл от минус у на квадрат е минус у на трета върху 3. И ще напиша плюс "с", за да ви покажа нещо но вие всъщност не е необходимо да пишете плюс с и от двете страни. Ще нарека тази добавена константа по у. Резултат от интегрирането по у. Това не сте го виждали в лекции по математически анализ, но просто искам да ви обърна внимание на нещо. но просто искам да ви обърна внимание на нещо. Искам да ви покажа че нашето плюс с никога не е отсъствало от уравненията, когато пишехме антипроизводните. И каква е производната на това? Просто х на трета върху 3. Просто х на трета върху 3. И тук също ще се появи плюс с породена от променливата х. Причината, поради която правя тия фокуси и ги означавам така, е, за да ви покажа, че ние действително би трябвало да напишем плюс с и от едната страна на уравнението. И ако това е неясно, нека просто да извадим константата и от двете страни на уравниението, така че да получим ето тук долу (мойто у прилича на g,...) у минус у на трета върху три е равно на х на трета върху 3 плюс коснтантата кочто получихме когато въехме антипроизводната по х минус константата която получихме когато взехме антипроизводната по у. Обаче тези две константи са си обикновени константи.. Ние не знаем на колко точно са равни. Те са произволни константи. Така че можем да го обобщим в едно с. Така че можем да имаме, всъщност трябва да имаме, константа, но не непременно и от двете страни на уравнението, защото и двете константи са произволни. сх минус су, е това е просто някаква друга константа. И щом искаме да опростим уравниението, можем да умножим и двете страни по 3 просто за да заизглежда по приятно. Получаваме 3у минус у на трета е равно на х на трета плюс 3,... бих могъл да напиша 3с. Но отново, с е произволна константа. Така че 3с също е произволна константа. Затова нека напишем просто с. И с това сме готови. Решихме диференциалното уравнение. Макар че в момента решението е все още в имплцитна форма, и макар че всъщност е доста трудно да се отървем от имплицтната форма. Можем да поставим с от другата страна, така че решението да бъде 3у минус у на трета минус х е равно на с. Някои хора биха предпочели този му вид. Но така или иначе това е решението. Забележете, че решението, също както когато взимате антипроизводни, е клас от имплицитни функции в този случай. Защо цял клас? Защото имаме константата с. В зависимост от това на колко точно е равна константата, получаваме ново решение. Но която и да е константа да вземем, решението ще удовлетворява диференциалнотo уравнение което разглеждаме, ето там горе. Това е диференциалното уравнение, което разгледахме. И за да се намери тази константа, някой трябва да ви даде начално условие. Някой трябва да ви каже, например, когато х е 2, у е 3. Тогава бихте могли да намерите с. Нека сега решим едnо друго уравнение, което има и начално условие. Това е малко по- ... Ще започна отначало. Чиста картина, различни цветове, така имам пълно пространство. Така, новото уравнение: първата производна на у по отношение на х е равна на 3 по х на квадрат + 4х + 2 върху 2 по (у-1). Това е в с коба, не абсолютна величина. И ни дават начални условия. Казват, че х от 0, е -1. Веднъж като решим това диференциално уравнение. и това е частно диференциално уравнение, можем да използваме началното условие - при х=0, у е -1, за да разберем константата. Нека първо разделим това уравнение. Да умножим двете страни по 2(у-1). Получаваме: 2у - dy/dx е равно на 3 по х квадрат + 4х + 2. Умножаваме двете страни по dx. Това е наистина просто упражнение по алгебра. Мога да умножа и това тук, получаваме 2у - 2, това е просто dy. Умножих двете страни по dx, така че това е равно на (3 по х квадрат + 4х + 2) dx. Разделих уравнението. Разделих независимата от зависимата променлива, и съответните им производни, така че сега мога да интегрирам. Мога да интегрирам с пурпурно. Каква е антипроизводната на този израз по отношение на у? Нека видим. у квадрат - 2у Няма да пиша "+с", просто ще го направя от дясната страна. Това е равно на 3 по х квадрат. Така, антипроизводната х на трета, + 2 по х квадрат, +2х + с. Това С е достатъчно за двете страни на уравнението, надявам се знаете защо от последния пример. Можем да го решим, използвайки началното условие: у от 0 е равно на -1. Нека да видим. Когато х = 0, у = -1. Нека заместим у с -1, получаваме (-1) на квадрат - 2 по -1, това е стойността на у, е равно на, когато х = 0. х = 0, така че това е 0 на 3-та + 2 по 0 квадрат = 2 по 0 + с. Това е ясно. Тези всичките, това цялото е 0. Това е, нека видим, (-1) квадрат, това е 1. Минус 2 по (-1), това е + 2, е равно на с. Получаваме с = 3. Така, имплицитното точно решение, решението на нашето диференциално уравнение -- запомнете, не е клас, защото ни дадоха начално условие - е у на квадрат - 2у, е рвано на ь на 3-та + 2 по х квадрат + 2х + 3. Намерихме колко е "с". И всъщност, ако искате, можете да го напишете в експлицитна форма, като завършим квадрата. Това е просто алгебра тук. Готови сте. Това е имплицитната форма. Ако искате да го направите в експлицитна, можете да добавите 1 от двете страни. Просто завършвам квадрата тук. Така, у квадрат минус 2у + 1. Ако прибавя 1 от тази страна, трябва да прибавя 1 и от тази, така получаваме х на 3-та + 2 по х квадрат + 2х + 4. Просто прибавих 1 от двете страни. Защо го направих? Защото исках тази страна да е пълен квадрат по отношение на у. Тогава мога да представя тази страна като (у-1) на квадрат, равно на х на 3-та + 2 по х квадрат +2х +4. Тогава мога да кажа: (у-1) е равно на +/- корен квадратен от (х на 3-та + 2 по х квадрат + 2х + 4). Мога да прибавя 1 от двете страни, и тогава получавам у е равно на 1 +/- корем квадратен от (х на 3-та + 2 по х квадрат плюс 2х + 4). Имаме +/- тук, и ако трябва да изберем едно от двете, ще се върнем към началното условие. Така, началното ни условие казва, че у от 0 е равно на -1. Така, ако заместим х с 0 тук, получаваме у = 1 +/- 0 + 4. Т.е. 1 +/- 4. Т.е. ако у = -1, така у = 1 +/- -- извинявайте, 2. Ако това е (-1), то тогава това е 1 минус 2. Така, експлицитната форма, която удовлетворява началното ни условие, е, малко прекаляваме тук, можем да махнем +-а, става 1 минус цялото това нещо. Това е, което удовлетворява началното ни условие. Можете да намерите къде е удовлетворено, при какви условия се удовлетворява. Удовлетворява се, когато това е положително. Ако това е отрицателно, под коренът е недефинирано. Както и да е, изтече ми вемето. Ще се видим в следващото видео.