Уравнения с отделящи се променливи. Въведение

Вече разгледахме какво означава диференциално уравнение и дори видяме визуално негови решения, като използвахме поле на направленията. Сега да започнем наистина да решаваме диференциални уравнения. Както ще видим, различните типове уравнения може да изискват различни методи, а някои от тях дори няма да можем да решим изобщо с методите на анализа. Ще се наложи да използваме числени методи на приближение. Но да започнем със, според мен, най-лесния за решаване тип диференциално уравнение: това са така наречените уравнения с отделима променлива. Диференциални уравнения с отделящи се променливи. След малко ще видим защо се наричат така: с отделими променливи. Да речем, че имаме това: производната на Y спрямо Х е равна на минус Х върху Y E по Х на квадрат. Имаме това диференциално уравнение и искаме да намерим негово решение, което минава през точката (0;1). Приканвам те да поставиш видеото на пауза, а аз ще дам подсказка. Ако можеш с помощта на алгебрата от едната страна на уравнението да оставиш само членовете с Y и с DY, а от другата му страна да са само тези с Х и с DX, после интегрирай. Може би така ще намериш търсеното решение на това диференциално уравнение, което да минава през дадената точка. Дори да не успееш, не се притеснявай, защото сега ще го намерим заедно. Както казах, да използваме малко алгебрични преобразувания, за да преместим всички Y и DY от едната страна, а всички Х и DX от другата страна. Да речем, че искаме всички Y и DY да са от лявата страна на уравнението, а всички Х и DX да са отдясно. Мога да умножа двете му страни по Y. Значи ще умножим по Y от двете страни. Това прави всички Y да отидат отляво. После мога да умножа двете страни по DX. Да го направим. Това е възможно, защото с диференциалите можем да извършим същите действия, както с променливите, за да преобразуваме уравнението и да отделим променливите. И така, това и това се съкращават. Остават само y и DY тук. Y по DY е равно на минус Х... всъщност ще запиша дясната страна така: –Х по Е... трябва ми още място... И така, минус Х по Е на степен минус Х на квадрат по DX. С какво е интересно това? С това, че можем да интегрираме двете страни. Затова уравнението е с отделими променливи. Това е възможно не за всяко диференциално уравнение. Не за всяко ще можем, чрез алгебрични преобразувания, да отделим Y и DY от едната страна, а от другата страна да е израз само с Х и DX. Но тук е възможно. Ето затова този тип диференциални уравнения се наричат уравнения с отделими променливи. Диференциални уравнения с отделими променливи. Обикновено това е първият метод, който да опиташ да приложиш. Да се опиташ да разделиш Y и Х изразите от двете страни; не за всяко уравнение това ще е възможно, за много, дори повечето диференциални уравнения няма да е. Но след като вече успяхме, можем да интегрираме двете страни. Да го направим. Избирам друг цвят. И така, ще интегрирам двете страни на уравнението. Какво получаваш, като интегрираш лявата страна? Помни, че тук интегрираме по отношение на Y. Получаваме Y на квадрат върху 2, а тук слагаме константа. Мога да я нарека, плюс С едно. Като интегрираме този израз, се получава това. А сега да отидем отдясно: там интегрираме по отношение на Х. Можем да направим заместване или да забележим... производната на –Х на квадрат е равна на –2Х. Тогава тук ще трябва да има коефициент 2, и за да не променим стойността на интеграла, умножаваме с 1/2. Сега да направим заместването: може да го разпишем, или наум. Заместваме с U израза –Х на квадрат, а DU ще е равно на –2Х по DХ. Дотук можеш и наум. Получих този израз и неговата производна, значи мога просто да интегрирам тази част, но спрямо U. Това ще е равно на 1/2, запазвам този коефициент 1/2 отпред, по... Търся обратното на производната. Това е Е на степен –х на квадрат и после, разбира се, ще има друга константа. Ще я нарека С две. Все пак, ако последната част ти се е сторила странна, заместването с U, преговори я отново. А сега, какво мога да направя тук? Имаме константа отляво. Тя е произволна. Не знаем колко е, защото още не съм използвал това допълнително условие, дадено в началото. Ще извадя С 1 от двете страни. За целта изваждам С едно и от двете страни. Отляво се унищожават, а отдясно идва с минус. Поправям се, това е С едно. И така, тези се унищожават, а тук става С две минус С едно. И двете са произволни константи. Още не знаем колко са. Затова можем просто да преработим уравнението като Y на квадрат върху 2 равно на... отдясно ще запиша 1/2 по Е, ще запиша това в синьо, за да запазя цветовете, 1/2 по Е на степен –Х на квадрат, плюс С две минус С едно. Да обознача разликата от константите с С. Замествам тези двете просто с С. сега получихме нещо като общо решение. Не знаем колко е тази константа и не сме намерили точно Y все още. Но дори в този вид можем да намерим конкретно решение, като използваме това предварително условие. Нека да отделя изразите. Това беше част от този израз на първоначалното уравнение, но имаме и това предварително условие. То ни казва, че когато Х е нула, Y трябва да е равно на едно. И така, ще имаме Y на квадрат, това сега е равно на 1, делено на 2, отляво става 1/2. Отдясно става 1/2 Е на степен –0 на втора, което е равно на Е на степен 0, което е 1. Отдясно имаме 1/2 плюс С. По този начин можем да намерим С, като извадим 1/2 от двете страни, С става равно на 0. Значи връзката между Y и Х, за да мине решението през тази точка, ни дава константата С да е равна на нула. И така, това е равно на 0. Остава само Y на квадрат върху 2 да е равно на е на степен –X на квадрат, цялото върху 2. Можем да опростим, като умножим по 2 от двете страни. Получаваме Y на квадрат... ще го запиша на чисто. Получаваме Y на втора равно на Е на степен минус Х на квадрат. Сега можем да вземем корен квадратен от двете страни. Може би ще кажеш, щом Y на втора е равно на това, значи Y може да е равно на плюс или минус корен квадратен от Е на степен –Х на квадрат. Но ни е дадено предварително условие, където Y е положително. Значи намираме конкретно решение, което минава през тази точка. Това означава, че Y ще приеме положителния квадратен корен. Ако тази точка беше (0;-1), тогава щяхме да вземем отрицателния квадратен корен. Но знаем, че Y има положителна стойност. Това е положителният корен. Нека подредя малко това. Исках да изтрия минуса. Вече не ни е нужен. Ще използваме само положителния корен. Можем да напишем, че Y е равно на Е на степен - Х на квадрат на степен 1/2. Това, разбира се, е равно на Е на степен –Х на квадрат върху 2. Ето това тук, Y равно на Е на степен –Х на квадрат върху 2 е едно конкретно решение, което удовлетворява началните условия на изходното диференциално уравнение. Ето така. Тъй като това диференциално уравнение беше от такъв тип, че да е възможно с алгебрични преобразувание да отделим Y и DY от Х и DX, успяхме да преобразуваме уравнението, да интегрираме двете страни и да използваме предварителното условие, за да намерим конкретното решение.