Решен пример: намиране на уравнение от дадено поле на направленията

В предишните примери започвахме с диференциално уравнение (ДУ) и от него извеждахме полето на направленията, което описва решенията на диференциалното уравнение. Векторното поле ни помагаше да онагледим решенията. В това видео искам да направя точно обратното упражнение – да започна от едно поле на направленията и да намеря диференциалното уравнение, чиито решения описва векторното поле. Сега ти предлагам да погледнеш петте ДУ вляво едно по едно и да помислиш кое от тях е описано с векторното поле вдясно. Натиснеи бутона за пауза и опитай самостоятелно. Предполагам, че вече опита. Нека разгледаме тези уравнения едно по едно. За целта просто ще намеря някои точки, в които изчисленията изглеждат по-лесни, и ще проверя дали наклонът, описван от ДУ в тази точка съответства на наклона на отсечката в полето. Без да знам нищо друго, само за опростяване ще проверя (х = 1) и (у = 1) за всяко уравнение поотделно. И така, да проверим за (х = 1) и (у = 1). В първото диференциално уравнение, това най-горе, ако (х = 1) и (у = 1), то dy/dx ще е равно на (–1)/1 или (–1). Dy/dx = (–1). Но това ли ни показват тук? Имаме (х = 1) и (у = 1), но наклонът тук не отрицателен. Точно обратното, той изглежда положителен. Значи можем да изключим първото ДУ. Сега да видим второто. Ако (х = 1) и (у = 1), dy/dx ще е (1 – 1) = 0. Пак повтарям, че избрах (х = 1) и (у = 1) само за удобство. Можеше да избера всяка друга двойка. Можеше да взема (–5) и (–7). Просто смятането с единици е по-лесно. Ако пак погледнем точката, която вече ни е позната, наклонът в нея определено не е нула. Наклонът тук е положителен, значи можем да изключим и това ДУ. Сега да се заемем с лилавото ДУ. Ако и х, и у са равни на едно, тогава (1 – 1) пак е равно на нула. А вече видяхме, че наклонът тук не е нула, затова изключваме и третото ДУ. Тук ни е дадено (х + у), затова при (х = 1) и (у = 1) производната на у по отношение на х ще е (1 +1), което прави 2. Това вече изглежда интересно. Наклонът точно тук изглежда 2. Този изглежда 1. А този изглежда 2. Трябва да проверя и с други точки, но това ДУ тук изглежда много добър кандидат. Когато dy/dx е равно на (х + у), можем да предвидим, че когато х расте за дадено у, наклонът също ще расте и когато у расте за дадено х, наклонът пак ще расте. И точно това виждаме. Ако запазим у константно равно на 1, но увеличаваме х по тази линия, виждаме, че наклонът също се увеличава. Става по-стръмен. Ако запазим х константно и увеличаваме у по тази линия, ще видим, че наклонът пак се увеличава. Като цяло виждаме, че колкото повече вървим нагоре и надясно, толкова по-голям става наклонът. А колкото повече вървим надолу и наляво, толкова повече намалява наклонът, защото стойностите на х и у стават все по-отрицателни. Затова имам много добри предчувствия за това ДУ, особено ако успеем да елиминираме това последно уравнение. Тук dy/dx е равно на х върху у. Тоест за (х = 1) и (у = 1) dy/dx ще е равно на 1, обаче този наклон изглежда по-голям от 1. Изглежда 2, но понеже преценката ни е само на око, нека намерим място, където можем да сме по-сигурни. Да разгледаме случая, когато и двете стойности са (–1). Значи х = (–1) и у = (–1). Тогава dy/dx пак е ще равно на 1, защото имаме (–1)/(–1). Това ли виждаме тук? Когато х = (–1) и у = (–1), производната в тази точка изглежда отрицателна. Прилича на (–2), което съответства на жълтото ДУ. А този наклон определено не е положителен, затова можем да изключим и това уравнение. Сега вече сме доста сигурни, че описаното ДУ е това тук. След като свършихме тази работа, можем да помислим как ще изглеждат решенията на това ДУ. Зависи откъде започват или кои точки съдържат. Ако имаме решение, което съдържа тази точка, то може би ще направи нещо подобно. Ако решението съдържа, знам ли и аз, тази точка, вероятно ще се държи така. И разбира се продължава нататък. Изглежда като асимптота на у = (–х). Ето на тази низходяща права. Това всъщност е правата, за която у = (–х). Всъщност това не е правата за у = (–х). Тази права се отнася за y = [–x – (1)], ето тази права. Изглежда, че ако решението съдържа примерно тази точка, това ще е решение на диференциалното уравнение y = [–x – (1)]. И можем да проверим това. Ако y = [–x – (1)], тогава х и (–х) се съкращават и ни остава само dy/dx = (–1), или точно това, което описва нашето поле на направленията. Във всеки случай, надявам се, че това ти беше интересно.