Решен пример: намиране на поле на направленията по дадено уравнение

Кое е полето на направленията, генерирано от диференциалното уравнение: производната на y спрямо х, т.е. (dx/dy) е равна на (х – y)? Както и преди, спри видеото на пауза и опитай да решиш задачата самостоятелно. Най-лесно е да си представим, че трябва да начертаем полето на направленията на ръка. Аз бих взел няколко точки с координати (х; у), за да проверя как би изглеждала производната във всяка от тези точки. Тъй като вече са ни начертали няколко полета, можем да проучим как би изглеждало търсеното поле в няколко точки и да видим кое от предложените векторни полета отговаря на на нашето предположение. Нека начертаем една малка таблица в този ъгъл с колони за х, за у и за производната на у по отношение на х. Сега можем да попълним някои стойности и да ги анализираме. Да вземем например ето тази точка, където х = 2 и у = 2. За х = 2 и у = 2 производната на у спрямо х е равна на (2 – 2). Производната е равна на нула. Но наклонът в това поле не изглежда да е нула. По-скоро прилича на (–1). Това е достатъчно, за да изключа първото поле. А този наклон прилича на +1 и определено не е 0. Значи мога да изключа и това поле. Наклонът тук също изглежда положителен. Значи това поле също отпада. А наклонът тук, в (2; 2), прилича на 0. Тази подточка започва да ми харесва. Наклонът в (2; 2) тук изглежда > 1, следователно последното поле отпада. Не беше трудно да стигнем до заключението, че ако отговорът се крие на екрана пред нас, то търсеното поле е именно това. Просто за удоволствие, нека продължим, за да се уверим, че това наистина е търсеното поле. Да помислим какво би станало, когато х = у = 1. За всяко х = у производната ще e равна на 0. Виждаме, че и тук в точка (4; 4), производната е равна на 0. Производната за (6; 6) също е нула. За (-2; -2) отново имаме производна 0. Дотук добре, това е нашето поле. Сега нека изберем други произволни точки. Например, ако х = 4, а у = 2, производната трябва да е (4 – 2), което е равно на 2. Следователно за х = 4 и у = 2, трябва да видим наклон, който прилича на 2, точно като този тук. Сега нека вземем две отрицателни стойности, като например случая, когато х = (–4) и у = (–2). Координатите са (–4; –2). Пресмятаме израза [(–4) – (–2)] и получаваме (–2). И точно това виждаме тук. Минус 4, минус 2, виж какъв е наклонът тук. Не се вижда съвсем добре, но прилича на (–2). Ще повторя, че още първият набор от координати, а именно (2; 2), ни посочи правилния избор. Следващите точки потвърдиха правилността на първия ни отговор.