Приблизително намиране на интегрални криви в полета на направленията

Имаме диференциално уравнение: производната на у спрямо х е равна на у върху 6 по 4 минус у. Тук е начертано полето на направленията за това диференциално уравнение и можем да се уверим, че това наистина е полето на направленията на даденото диференциално уравнение. Да начертаем една таблица. Ще проверим някои точки. Искаме стойности за х, у и dy/dx. Да намерим тези стойности първо за тази точка: (1;1). За нея х е 1, у е 1, а като погледнем диференциалното уравнение, 1/6 по 4 минус 1 е 1/6 по 3, равно на 3/6, това прави 1/2, както виждаме и от полето на направленията, начертаният наклон... точно в тази точка има ъглов ковфициент 1/2. Както виждаш, той зависи само от стойността на у, няма значение колко е х, докато у е равно на 1, dy/dx все е равно на 1/2; затова и когато х е равно на 1 и 1/2 и у е 1, то наклонът отново е 1/2. Докато у е равно на 1 всички избрани точки ще имат наклон 1/2. Това ни дава чувството, че това поле на направленията отговаря на това диференциално уравнение, но за да сме по-сигурни да проверим още няколко точки, а след това ще използваме полето на направленията, за да видим някои решения на уравнението. Сега да опитаме с някоя по-интересна точка, мога да избера всяка с начертан наклон, например тази: тя е с х = 1 и у = 6. Виждаме, че за това диференциално уравнение е без значение колко е х, наклонът зависи само от стойностите на у. Имаме 6/6, което е 1, по 4 – 6, което е –2. Получаваме –2 и наклонът трябва да отговаря на това. Изглежда точно това е начертано. Докато у = 6, наклонът е равен на минус 2. Имаме наклон –2. Виждаме го и във полето на направленията. Надявам се, вече сме уверени, че това поле на направленията отговаря на диференциалното уравнение. Ако още се съмняваш, те приканвам да провериш за още точки. Вече можем да използваме това поле на направленията, за да видим някои решения на диференциалното уравнение чрез точки, през които тези решения може да минават. Да речем, че едно решение на уравнението минава през тази точка тук. Как би изглеждало това решение? Напомням, че това ще е много грубо приближение. Наклонът в тази точка е какъвто е показан в полето на направленията. Когато у се увеличава, изглежда този наклон се променя... да видим как. Да сравним наклона в тази точка. Продължавам отсечката на тази точка, в която у = 2, това трябва да е успоредно на всички тези отсечки от полето, за които у = 2, и виждаме как наклонът започва да намалява, когато наближаваме у = 4 и ако имаме решение, което минава през тази точка, предполагам, че то ще изглежда по подобен начин, после наклонът отново намалява, като се доближаваме до у = 0. Виждаме това, защото ако за у = 0 всичко това е 0, то нашата производна също е 0. Една вероятна функция, решение на уравнението, може да изглежда така, това ни дава представа. Ако функцията минава през тази точка, то тя може би изглежда като начертаната от мен. Но какво ще стане, ако избера да минава през онази точка там? Тогава тя ще изглежда... по абсолютно същия начин намираме, че може да изглежда така. Искаме да получим представа, но не знаем истинските решения на това диференциално уравнение. Но започваме да добиваме представа какъв тип функции или клас функции могат да изпъляват това диференциално уравнение. Интересното за това поле на направленията е, че когато решението включва точки, за които стойността на у е между 0 и 4, то ще имаме решения с такъв вид, но ако имаме стойности на у, които са по-големи от 4 или по-малки от 0, дори равни на 0 или 4? Например, да вземем решение, чиято функция минава през тази точка? За тази точка полето на направленията ни показва, че наклонът е 0. Значи стойността на у няма да се променя, а докато стойността на у остава постоянна, както в този случай постоянно е 4, наклонът ще продължава да е 0, всъщност разбираме, че всъщност имаме решение на диференциалното уравнение, у = 4 е решение на това уравнение. Можем да се убедим, че у = 4 е решение, като заместим в уравнението с у = 4 и отдясно получаваме 0, а производната е 0 за у = 4. И така, това е едно решение на диференциалното уравнение. Същото имаме и за у = 0. Това също е решение на уравнението. А сега да видим какво ще стане, ако включим точки като тази тук горе. Ще използвам друг цвят. Сега ще видим едно решение, което минава през тази точка. То може да изглежда така, тук използваме полето на направленията, за да ни даде представа за наклона на графиката на решението, докато я чертаем. Решение, което включва точката (0;5) може да изглежда така: пак повтарям, това е само представа. Графиката на решение, минаващо през точката (0; –1и 1/2) изглежда по такъв начин... При всички положения се надявам това да ти помогна да разбереш защо полетата на направленията са ни интересни, ако имаме дадено диференциално уравнение, което включва само първа производна и израз с х или у, както това включва само първа производна и израз с у. Можем да начертаем неговото поле на направленията, това е сравнително лесно трябва само да решим уравнението за няколко точки, за да намерим наклоните в тях и то може да ни даде визуална представа как изглеждат решенията за дадени точки, които тези решения съдържат.