If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:12:14

Намиране на първоначална стойност с помощта на теоремата за конволюцията

Видео транскрипция

След като вече знаем малко за интеграла на конволюция и как се прилага към трансформацията на Лаплас, нека опитаме да решим конкретно диференциално уравнение, като използваме това, което знаем. Дадено ни е това уравнение ето тук, тази първа задача, в която е дадено: втората производна от у, плюс 2 по първата производна от у, плюс 2 по у, равно на sin от α по t. Дадени са и някои начални условия. Дадено е, че у от 0 е равно на 0, а у' от 0 е равно на 0. Много удобно и приятно е, че тези първоначални условия спомагат за изясняването на задачата. Нека обаче да се захванем със задачата. Първото нещо, което правим, е да намерим трансформацията на Лаплас от двете страни на уравнението. Трансформация на Лаплас от втората производна на у е равна само на s квадрат... Това вече следва да ти е много лесно. Равно е на s квадрат по трансформацията на Лаплас от у, което записвам просто като главно Y от s, минус s. Започваме със същата степен като броя на производните, които търсим, а след това намаляваме с единица всеки път. И така, минус s по у от 0. Ако разглеждаме това като интеграл, то това е първата производна, въпреки че този член не е точно производна на ето този. Следва минус, и намаляваме с единица, т.е. остава само 1 по у' от 0. Това е трансформацията на Лаплас от втората производна. Сега следва да намерим трансформацията на Лаплас от 2 по първата производна. Това просто ще бъде равно на плюс 2 по s, по Y от s – тоест s по трансформацията на Лаплас от у, което е това ето там – минус у от 0. Остава ни само още едно нещо, тоест това ето там – трансформацията на Лаплас от 2у. Равно е просто на плюс 2 по трансформацията на Лаплас от у, т.е. по Y(s). Това ще бъде равно на трансформацията на Лаплас от sin от α по t. Това вече сме го правили множество пъти. Това е просто α върху s квадрат плюс α квадрат. Следващото нещо, е да отделим членовете с трансформацията на Лаплас от у, т.е. членовете с Y от s. Даже още по-добре е да се отървем от тези първоначални условия. у от 0, а у' от 0 е 0, така че този член е равен на 0, този член е равен на 0 и този член е равен на 0. (зачертава ги с жълто) Тогава целият израз – мога да се отърва от цветовете вече – просто дава следното – ще избера хубав цвят тук. Получава се s квадрат по Y от s, плюс 2s по Y ot s, което е този член тук, плюс 2 по Y от s, е равно на дясната страна. А именно α върху s квадрат плюс α квадрат. Нека сега изнесем Y от s, тоест трансформацията на Лаплас от у, т.е. Y(s). Получава се s квадрат плюс 2s, плюс 2, всичко това по Y от s, равно на ето тази дясна страна, или α върху s квадрат, плюс α квадрат. Сега можем да разделим двете страни на това уравнение на този израз тук. Тоест на този израз ето тук. (подчертава израза) Получаваме Y от s, което е трансформацията на Лаплас от у, е равно на този израз, α върху s квадрат плюс α квадрат по... Мога да го запиша и като умножено по 1 върху s квадрат плюс 2s, плюс 2. Можех да кажа и разделено на този израз, но и в двата случая резултатът е един и същ. Какво можем да направим сега? Спомни си, че разглеждаме тази задача в контекста на конволюцията. Искам да потърся трансформацията на Лаплас, която изглежда като произведение от две трансформации Лаплас. Знаем на какво е равно обратната трансформация на Лаплас от този израз. Всъщност току-що я намерих. Равна е на sin от α по t. Ако мога да намеря трансформацията на Лаплас от този израз, то поне мога да изразя функцията у от t като интеграл от конволюция, дори и ако не успея да реша интеграла. Оттук нататък е просто анализ, а ако това е нерешим интеграл, можем просто да използваме компютър или нещо друго. Действително можем да използваме компютър, за да решим този израз, но така бихме прескочили няколко стъпки. Добре, нека просто опитаме да получим този израз във вид на интеграл от конволюция. Какво мога да направя с това? Нека да видим. Това не е точен квадрат. Ако този израз не е точен квадрат, то следващото най-подходящо нещо, е да се опитаме да го допълним до такъв. Нека опитаме да го запишем ето така: s квадрат плюс 2s, плюс нещо, плюс 2. Просто го преписах ето така, Ако го запиша като s квадрат плюс 2s плюс 1, то това става s плюс 1 квадрат. Ако обаче прибавя единица, то следва и да извадя единица. Не мога просто така да прибавям единица към израза. Ако прибавя 1, то следва и да извадя 1, за да се унищожат. Следователно така не се променя израза, т.е. просто го записвам ето така. Сега този член, обаче, мога да го запиша като (s плюс 1) на квадрат. Тогава тук се получава плюс 1. Това е този член ето тук. Това дава плюс 1. Сега мога да препиша целия израз Y от s като равен на α върху s квадрат, плюс α квадрат, по 1 върху този израз, т.е. върху (s плюс 1) на квадрат, плюс 1. Вече казах, че знаем на какво е равна обратната трансформация на Лаплас от този израз. (огражда израза с жълто) Сега следва само да намеря, на какво е равна обратната трансформация на Лаплас от ето този израз. Нека избера един хубав цвят. Става дума за израза, който ограждам в синия правоъгълник. Мога да го представя като интеграл на конволюция. А как да направя това? Мога още сега да го направя. Мога направо да заявя, че y от t – нека го запиша – y от t е равно... обратната трансформация на Лаплас очевидно от Y от s. Нека го запиша - Y от s. А това е равно на обратната трансформация на Лаплас от следните два израза – обратната трансформация на Лаплас от α върху s квадрат, плюс α квадрат, по 1 върху (s плюс 1) на квадрат, плюс 1. Съгласно теоремата за конволюцията този израз ще бъде равен на обратната трансформация на Лаплас от този първи член в произведението. (подчертава го със зелено) Обратната трансформация на Лаплас от този първи член α върху s квадрат, плюс α квадрат в конволюция със следното – поставям знак за конволюция ето тук. За малко да кажа конвулсия. Не са много различни. В конволюция с обратната трансформация на Лаплас от този израз. Тоест обратната трансформация на Лаплас от 1 върху (s плюс 1) на квадрат, плюс 1. Имам произведението на две трансформации на Лаплас и мога да разгледам всяка от тях поотделно и да намеря обратната. Обратната трансформация на Лаплас от тяхното произведение ще бъде равна на конволюция от обратните трансформации на Лаплас на всеки от членовете. Всеки един от тези членове. Обърках се от това, което казах току-що, така че не искам да обърквам и теб. Мисля обаче, че разбираш идеята. Имам тези два израза. Разглеждам ги независимо. Мога поотделно да намеря обратната трансформация от всеки от тях. Обратната трансформация на Лаплас от произведението им ще бъде конволюцията на всяка от техните обратни трансформации. А на какво е равен този израз тук? Имахме го в началото на задачата. Обратната трансформация на Лаплас от този израз, е sin от α по t. Сега ще свържем с конволюция този израз с обратната трансформация на Лаплас от този израз ето тук. Нека да направим това тук отстрани, за да се уверим, че работим вярно. Трансформацията на Лаплас от sin от t е равна на 1 върху s квадрат плюс 1. Изглежда като ето този израз, но отместен с минус единица. Може би си спомняш за трансформацията на Лаплас от 'е' на степен at по sin от t, когато умножим 'е' на степен at по каквото и да е, то отместваме трансформацията на Лаплас на функцията. Следователно този израз е равен на 1 върху (s минус а) на квадрат, плюс 1. Действително сега изместихме функцията с 'а'. Сега имаме нещо, което изглежда много сходно с ето този израз. Ако изберем 'а' да бъде равно на минус 1 - т.е. тук нашето 'а' е равно на минус 1 - то това съвпада с този модел. Това е s минус минус 1. Обратната трансформация на Лаплас от този израз тук, е просто 'е' на степен 'а', което е равно на минус 1, т.е. минус 1 по t, по sin от t. Това е решението на даденото диференциално уравнение, въпреки че отговорът не изглежда много хубав. Сега може да го изразим и като интеграл. Няма да решаваме интеграла в тази задача, защото е доста страховит, а дори не е ясно как. Въобще няма да се опитвам. Просто обаче искаме да го приведем в даден вид, а оттам нататък е просто интегрално смятане. Или може би електронно такова. Каква е конволюцията от тези две функции? Интеграл от 0 до t, от sin от първата функция от t минус τ. Не съм ти го показал, но можем наистина да променим поредността на двете функции. Нека сега обаче да го направя така, както е. Това е синус... Бих могъл да запиша sin от (t минус τ) по α. Намираме синус от всички тези стойности. Умножаваме по 'е' на степен минус τ, sin от τ, dτ. Това е един от начините, по които да изразя решението като интеграл на това диференциално уравнение. Като го запиша така. Би следвало да е очевидно за теб, че редът на множителите може да се промени. Защото, когато имаме произведение, очевидно редът няма значение. Мога да запиша този член първи. или ето този член първи. Независимо кой член е записан първи, същият принцип е валиден. Ще го докажа формално в бъдещ урок. Следователно бихме могли да променим реда. Можехме да запишем този израз като 'е' на степен минус t по sin от t , в конволюция със sin от α по t. Това би било равно на интеграл от 0 до t, от 'e' на степен минус t минус τ, sin от (t минус τ), по sin от α по τ, dτ. И двата записа са еквивалентни. Който и да е от тях е приемливо решение. Обикновено в подобна задача на изпит учителят не очаква действително да изчислиш тези интеграли. Учителят просто ще заяви, че иска да достигнеш до интеграла, просто да се увери, че знаеш как да свързваш неща с конволюция. А също така и да получаваш решението на диференциално уравнение, поне в този вид. Оттук нататък това, което следва, не е елементарна математика, но не е и диференциално смятане. Надявам се, че от този втори пример за конволюция, като метод за решаване на обратна трансформация на Лаплас, нещата са ти една идея по-ясни.