If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решаване на диференциално уравнение с трансформация на Лаплас (част 2)

Втора част на урока, в който решаваме диференциално уравнение с трансформация на Лаплас. Създадено от Сал Кан.

Видео транскрипция

Привет отново. Най-накрая стигаме до употреба на трансформация (или преобразование) на Лаплас, за да извършим нещо полезно. В първата част на тази задача имахме само това доста стандартно диференциално уравнение. Знам, че е малко дразнещо в момента, защото това уравнение може много лесно да се реши с характеристично уравнение. Защо тогава да използваме трансформации на Лаплас? Просто искам да ти покажа, че може да се прилага дори в тези задачи. Но по-нататък ще има класове задачи, за които, честно казано, нашите традиционни методи не са толкова добри, колкото трансформацията на Лаплас. И така, как решихме тази задача? Извършихме трансформации на Лаплас от двете страни на това уравнение. Стигнахме до цялата тази неприятна бъркотия. Използвахме свойството на производната на функция, където прилагаш трансформацията на Лаплас, и след доста алгебрични пресмятания получихме това. Имаме преобразование на y, което е равно на това тук. Просто взехме трансформациите на Лаплас на двете страни и ги преработихме алгебрично. И сега нашата задача в това видео е да разберем каква трансформация на Лаплас за y е този израз. Като цяло това, което се опитваме да направим, е да приложим обратната трансформация на Лаплас от двете страни на това уравнение. Казано по друг начин, ако приложим обратната трансформация на Лаплас към двете страни, то y е равно на обратната трансформация на Лаплас от ето този израз. 2s плюс 13 върху s на втора плюс 5s плюс 6. Сега най-накрая действително ще научим официалната дефиниция за обратна трансформация на Лаплас. Как се преминава от дефиниционната област на s към дефиниционната област на t? Или как се преминава от дефиниционната област на честотата към дефиниционната област на времето? Няма да се тревожим за това точно сега. Това, което ще направим, е да приведем това във вид, който разпознаваме, и ще кажем "О, тези функции ги знаем!". Това е трасформацията на Лаплас на нещо си и нещо си. И тогава ще намерим y. Така че нека опитаме да го направим. Това, което ще използваме, сигурно не ти е трябвало отдавна. Но най-накрая виждаш, че тук в диференциалните уравнения то всъщност върши някаква работа. Нека го напиша. Ще използваме разлагане на елементарни дроби. И ще направя един малък преговор, ако не си го спомняш. И така, нека разложим на множители този знаменател. И ще видиш накъде отивам с това. Ако разложа знаменателя, получавам (s + 2) по (s + 3). И това, което искаме, е да представим тази дроб като сума на две, да ги наречем елементарни дроби. Сигурно затова го наричат разлагане на елементарни дроби. И така, искаме да напишем това тук като сума на А върху s плюс 2, плюс В върху s плюс 3. И ако успеем да го направим, тогава вече сигурно се досещаш, ще знаем, че тези изрази в този вид са трансформации на Лаплас на функции, за които вече сме решавали задачи. И ще направя кратък преговор след малко. Но как да намерим А и B? Ако трябва да съберем A и B – да го направим тук встрани. Трябва да ги приведем под общ знаменател, който е следният. (s + 2) по (s + 3). Какво ще получим за A? Щяхме да умножим A по (s + 3), нали така? И бихме получили А по s, плюс 3 по A. Това, както сега съм го написал, е същото като A върху (s + 2). Бихме могли да съкратим (s + 3) в числителя и знаменателя. И сега ще прибавим B. Ще го направя с различен цвят. Ако имахме това като знаменател, щяхме да умножим числителя и знаменателя по s плюс 2, нали? И получаваме B по s, плюс 2 по B, и това ще е равно на следния израз. Всичко, което направих, е да събера тези две дроби. Нищо по-специално. Това си е алгебра втора част. Всъщност, мисля, че трябва да направя цяло видео и върху тази тема. Но това ще бъде равно на този израз. 2 по s плюс 13, цялото върху (s + 2) по (s + 3). Забележи, че във всяко диференциално уравнение, най-трудната част винаги е алгебрата. И сега, това, което правим, е да приравним двете страни. Ще съберем множителите на s тук. И може да кажем, че числителите трябва да са равни, защото знаменателите са равни. И получаваме (A + B) по s, плюс 3 по A плюс 2 по B, е равно на 2s плюс В. (Сал допуска грешка, накрая е 13, а не В) Коефициентът на s в дясната страна е 2. Коефициентът на s вляво е (A + B). Следователно (A + B) е равно на 2. После вдясно виждаме 3 по A плюс 2 по B, което следва да е равно на 13. Да не би да казах B? Това е 13. И това е 13. Изглежда точно като B, нали? Това си беше 2 по s плюс 13. И така, в дясната страна получавам 3 по A плюс 2 по B, е равно на 13. Сега имаме две уравнения с две неизвестни, и какво ще получим? Знам, това може да е доста уморително, но ще е удовлетворяващо накрая. Защото на практика ще решим нещо с трансформацията на Лаплас. И така, нека умножим горното уравнение с 2, или да кажем с минус 2. Получаваме минус 2 по A минус 2 по B, е равно на минус 4. След това събираме двете уравнения и се получава А е равно на следното. Тези тук се унищожават и А е равно на 9. Страхотно! Ако A е равно на 9, на колко е равно B? 9 плюс кое число ще ни даде 2? Или 2 минус 9 е равно на минус 7. Извършихме едно сериозно опростяване. Сега можем да препишем целия този израз като трансформацията на Лаплас от y, равна на A върху s плюс 2. Равно на 9 върху s плюс 2, минус 7 върху s плюс 3. Или друг начин да го запишем, е като равно на 9 по 1 върху s плюс 2, минус 7 по 1 върху s плюс 3. Защо си правя труда да го представя по този начин? Надявам се, ще разпознаеш, че това всъщност е втората трансформация на Лаплас, която намерихме. На какво беше равно? Ще го запиша тук долу, за да си го припомниш. Имаме трансформацията на Лаплас от 'e' на степен a по t, е равно на 1 върху s минус a. Това е втората трансформация на Лаплас, която доказахме. Така че това е интересно. Трансформацията на Лаплас за кой израз е това? Например търсим обратната трансформация на Лаплас. Нека бъда последователен. Открихме, че трансформацията на Лаплас от y, е равна на 9 по трансформацията на Лаплас от какво? Нека просто проследим изразите. Ако това е s минус a, то a е равно на минус 2. Тоест плюс 9 по трансформацията на Лаплас от 'е' на степен минус 2 по t. Успя ли да го разбереш? Вземаш това, заместваш го тук и получаваш 1 върху s плюс 2. Изчакай малко, за да почистя, защото се нуждая от още място. Записвам следното. Оставям това там, защото още ще го използваме. След това имаме минус 7 по трансформацията на Лаплас от какво? Това е трансформацията на Лаплас от 'e' на степен минус 3 по t. Тази прилика те кара да кажеш "Уау!". Ако я видиш, ще погледнеш в таблицата с трансформации на Лаплас, ако не си спомняш, и забелязваш следното. Виждаш, че това много прилича на онзи израз. Само да разберем на какво е равно a. Имаш s плюс 3. Имаш s минус а. В този случай 'a' е равно на минус 3. Ако 'a' е равно на минус 3, то това е трансформация на Лаплас от 'е' на степен минус 3 по t. Сега можем да направим следното. Преди това обаче нека направим друго. Знаем, че трансформацията на Лаплас е линеен оператор. Нека изтрия ето тук долу. Трансформацията на Лаплас е линеен оператор, а от това следва, че можем да запишем следното. Обикновено не преминаваш през всяка от тези стъпки. Но наистина искам да разбереш какво правим. Казваме, че това е същото нещо като трансформация на Лаплас от 9 по 'e' на степен минус 2 по t, минус 7 по 'e' на степен минус 3 по t. Сега имаме нещо интересно. Трансформацията на Лаплас от y е равна на трансформация на Лаплас от този израз. В този случай y следва да е равно на 9 по 'e' на степен минус 2 по t, минус 7 по 'e' на степен минус 3 по t. Въпреки че не го доказах, трансформацията на Лаплас е трансформация от вида 1:1. Така че, ако имам трансформация на Лаплас от някаква функция, ако бях направил трансформация на Лаплас на дадена функция, и след това направя обратна трансформация на Лаплас, единствената функция която бих получил след нея, е първоначалната функция. Няма две различни функции, които имат една и съща трансформация на Лаплас. Тук има няколко неща за размисъл. Забележи, че имахме израз, който наподобяваше характеристично уравнение, който се появяваше тук и там. Пак трябваше да решим система от две уравнения с две неизвестни. Това са две неща, които трябваше да направим, когато решавахме първоначалната задача със стойности, в която по традиция се използва характеристичното уравнение. Тук обаче всичко се случи едновременно. И наистина беше малко по-трудно, защото трябваше и да извършим разлагане на елементарни дроби. Но резултатът е много хубав. Трансформацията на Лаплас ни показа нещо полезно. В следващия урок ще обясня нехомогенните уравнения и ще покажа, че трансформацията на Лаплас е приложима еднакво добре и там. Общо взето е по-последователно теоретично решаване на диференциални уравнения, вместо някак да гадаем решението, или да решаваме спрямо коефициентите, или нещо такова. Ще се видим в следващия урок.