Използване на трансформация на Лаплас за решаване на диференциално уравнение

Направих множество уроци върху метода за намиране трансформацията (преобразованието) на Лаплас. Но като преминаваш през тях, вероятно се чудиш за какво се изучава това нещо. Ето сега ще ти покажа, поне в контекста на диференциалните уравнения. Използваме куп означения за трансформацията на Лаплас. Какво наистина означава? Какво е всичко това? Това са прекрасни въпроси, чиито отговори да търсиш. Трудно е да се разглежда логиката на трансформацията на Лаплас в контекста на диференциалните уравнения по друг начин освен като инструмент за преобразуване на задачите за диференциране или интегриране в алгебрични задачи. Ще ти дам насока, и ако искаш да научиш как се прави, следва да научиш Ред на Фурие и преобразование на Фурие, които са много сходни с трансформацията на Лаплас. Това наистина ще развие интуицията ти относно предназначението на множеството на честотите. Нека сега използваме трансформацията на Лаплас, за да решим едно диференциално уравнение. Нека е такова, което вече сме решавали. Да видим. Дадено е уравнението y'' (у секонд) плюс пет, умножено по първата производна у', плюс шест по у, равно на нула. Знаеш как се решава, но просто исках да ти покажа със сравнително лесно диференциално уравнение, че може да се реши чрез трансформацията на Лаплас. В крайна сметка пишем характеристичното уравнение. Първоначалните условия са у от нула равно на две, а у' от нула е равно на три. За да използваме трансформацията на Лаплас тук, просто извършваме трансформацията на Лаплас спрямо двете страни на уравнението. Ще използвам по-светъл цвят. Получаваме трансформация на Лаплас от втората производна на у плюс трансформацията на Лаплас от пет по у', което е същото нещо като пет по трансформацията на Лаплас от у'. И плюс шест по трансформацията на Лаплас от у. Нека ти задам въпрос. Колко е трансформацията на Лаплас от нула? Нека го запиша. Трансформацията на Лаплас от нула ще бъде интеграл от нула до безкрайност, от нула по 'е' на степен минус s, dt. Ето това тук е нула. Равно е на нула. Трансформацията на Лаплас от нула е равна на нула. Това е хубаво, защото не ми остана място, за да запиша още едно къдраво L. Как изглеждат трансформациите на Лаплас за тези изрази? Ето тук ще използваме едно от полезните свойства, които научихме. Ще го запиша тук. Мисля, че имам нужда от възможно повече свободно място. Ще изтрия това. Научихме следното за трансформацията на Лаплас. Ще го запиша ето тук. Трансформацията на Лаплас от f' или да кажем у', е равна на s по трансформацията на Лаплас от y, минус у от нула. Това вече го доказахме. Това е изключително важно да се знае. Да видим как да го приложим. Прилагаме трансформацията на Лаплас за този израз, за у'', това е равно е на s по трансформацията на Лаплас от... Ако започнем с у', то просто намираме примитивната ѝ функция у. Ако търсим примитивната функция на втората производна на у, то това е просто първата производна, т.е. минус първата производна за нула. Ето, че вече използваме първоначалното условие. Все още не правя заместването. Накрая остава следното – плюс пет... Записвам го всеки път. Плюс пет, умножено по трансформацията на Лаплас от у', плюс шест, умножено по трансформацията на Лаплас от у. Всичко това е равно на нула. Нека го изясня. Това, което направих, е, че развих този израз, като използвах ето този. Как може да запишем трансформацията на Лаплас от у'? Можем още веднъж да го запишем. Нека го направим. Ще запиша това тук в лилаво. Равно е на s, умножено по какво? s, умножено по трансформацията на Лаплас от у'. Тоест s по трансформацията на Лаплас от у минус у от нула, нали така? Взех тази част и я заместих с ето тази, която имам в скобите. Следва минус у' от нула – сменям цветовете – плюс пет и отново умножено по трансформацията на Лаплас от у'. Ето отново може да използваме ето това. Пет, умножено по s, умножено по трансформацията на Лаплас от у, минус у от нула, плюс шест по трансформацията на Лаплас. О, свърши ми мястото! Ще го напиша на нов ред. Плюс шест, умножено по трансформацията на Лаплас от у. И всичко това е равно на нула. Знам, че всичко това изглежда объркващо, но сега ще го опростим. Може да се отървем от този запис тук, защото не се нуждаем повече от него. Сега само опростяваме. Като използваме трансформацията на Лаплас не се наложи да намираме общо решение или нещо подобно. А когато написахме характеристичното уравнение, предположихме, какво ще бъде общото решение. Сега просто намираме трансформациите на Лаплас. Нека да видим докъде ще ни отведе това. Наистина искам да го изясня, защото знам, че е много объркващо, така че тази част ще я запиша ето така. (подчертава на екрана с жълто двете части) Записвам този израз ето така. (отново подчертава на екрана) Всичко останало е същото. Нека сега да опростим. Получаваме s квадрат, умножено по трансформацията на Лаплас от у. Записвам го с по-малки букви. Следва минус s, умножено по у от нула. Нека заместим у от нула ето тук. у от нула е равно на две, така че s по у от нула е две по s – просто разкриваме скобите – минус у' от нула. у' от нула е равно на три. Следва минус три, плюс следното: имаме пет по s, по трансформацията на Лаплас от у т.е. плюс пет по s, умножено по трансформацията на Лаплас от у, минус пет по у от нула. у от нула е равно на две, т.е. минус десет. Минус десет, нали така? Това ето тук е две, т.е. пет по две, плюс шест, умножено по трансформацията на Лаплас от у. Всичко това е равно на нула. Нека групираме членовете с трансформациите на Лаплас от у и константите, за да достигнем до търсения резултат. Имам ето тази трансформация на Лаплас от у, заедно с ето това, това, и ето това. (подчертава на екрана с червено) А какво ми остава? Нека изнеса пред скоби трансформацията на Лаплас от у. Получава се трансформацията на Лаплас от у - което е добре, защото е мъчително постоянно да го записвам - умножено по s квадрат, плюс пет по s, плюс шест. Това са всички членове с трансформация на Лаплас. Остават членовете с константи. Нека видим, имам едно s минус две s, минус три, минус десет, е равно на нула. И какво можем да направим тук? Е, това вече е интересно. Първо забелязваме, че коефициентите пред членовете с трансформацията на Лаплас от у, съставят характеристичното уравнение, което разглеждахме толкова много. Надявам се, че е нещо, което познаваш вече много добре. Това е малко подсказване, защото, ако търсиш някаква трудно доловима връзка, то това е тя. За да достигнем до характеристично уравнение, заместихме 'е' на степен rt, а трансформацията на Лаплас съдържа много близка по вид функция. Нека се върнем към задачата. Как се решава този израз? Нека представя голямата картина тук, защото тя е важно нещо. Ще реша това уравнение. Ще избера трансформацията на Лаплас от у да е равно на нещо. След това ще те попитам какви функции съдържа трансформацията на Лаплас в дадена точка? И тогава ще получа решението. Ако това те обърква, просто почакай и ще го разбереш. Оттук до ето тази стъпка е просто сравнително трудна алгебра. Нека слезем малко надолу, за да имаме повече място. Имаме трансформацията на Лаплас от у, умножено по s квадрат, плюс пет по s, плюс шест, е равно на следното. Нека прибавим тези членове към двете страни на уравнението. Равно е на две s, плюс три, плюс десет. О, тук е минус тринадесет! Тук е минус тринадесет. Звъни телефон. Кой се обажда? Мисля, че е нещо, свързано с реклама. Имаме две s плюс тринадесет, а какво да направя сега? Нека разделим двете страни на s квадрат плюс пет s, плюс шест. Получавам трансформацията на Лаплас от у, е равно на две s плюс тринадесет, върху s квадрат плюс пет s, плюс шест. Сега сме почти готови! Следва само малко алгебра. Почти сме готови. Все още не сме намерили у, но знаем, че трансформацията на Лаплас от у, е равно на ето този израз. Ако имахме този израз в нашата таблица за трансформации на Лаплас, щяхме веднага да открием, на какво е равно у. Не виждам обаче нещо, или не си спомням нищо, което да сме направили в таблицата, което да изглежда като този израз за s. Наистина времето ми свърши, така че в следващия урок, ще намерим на каква функция отговаря този израз за трансформацията на Лаплас. Оказва се, че е сума от неща, които вече знаем, Просто следва да преработим израза по алгебричен начин. Ще се срещнем в следващия урок.