If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Трансформации на Лаплас (част 2)

Трансформация на Лаплас от e^at. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Нека направим още една трансформация на Лаплас. Това ще ти помогне да разбереш как се получават таблиците с трансформации на Лаплас, които ще виждаш по-късно, и ще те улесняват в изчисленията. Това е част от по-късно обучение по математика, но ще ти помогне да разбираш по-добре цялостната картинка. Най-напред ще препиша определението за трансформация на Лаплас. Това е голямата латинска буква L, обозначава трансформация на Лаплас от някаква функция с аргумент t, което е равно на несобствения интеграл от 0 до безкрайност от числото `е` на степен минус st, умножено по нашата функция. Всичко това е спрямо dt. А сега ще извършим една нова трансформация на Лаплас. Искаме да направим трансформация на Лаплас, но сега нашата функция от t е такава: `е` на степен at. Записах трансформация на Лаплас от `е` на степен at. Заместваме нашата функция в определението за трансформация на Лаплас. Това е равно на... Предстои ни едно хубаво упражнение по интегриране, по-конкретно върху интегриране по части. Почти всяка задача с трансформация на Лаплас се свежда до интегриране по части. Както вече знаем, интегрирането по части е обърнатото правило за диференциране на произведение. Нека продължим. Това е равно на интеграла от 0 до безкрайност на `е` на степен минус st по `е` на степен at, нали така? ето тук заместихме f(t) с нашата функция. Накрая има dt. Тук можем просто да съберем степените, защото са с една и съща основа. Това става равно на интеграла от 0 до безкрайност на `е` на степен (а – s) по t, dt. Коя ще е примитивната функция на този израз спрямо t? Това е равно на 1 делено на... (a – s) е някаква константа, нали така? Значи можем да я оставим пред скоби, става 1 върху (a – s), по `е` на степен (a – s) по t. Ще изчислим това от t равно на безкрайност, или границата при t клонящо към безкрайност, до t=0. Можех да сложа дробта и вътре в скобите, но тя е просто константа, нали така? Нищо от нея не съдържа t, затова мога да я изнеса извън скоби. Това е равно на 1/(а – s) по... сега трябва да изчислим границата на този израз при t, клонящо към безкрайност. Как намираме граница при безкрайност? Тук имаме два случая, нали помниш? Според знака на тази степен: ако (a –s) е положително число, когато а е по-голямо от s, какво се случва? Тогава, с приближаването на t към безкрайност, `е` на безкрайна степен става все по-голямо и по-голямо число. Тъй като степента на е става безкрайно голямо положително число. В такъв случай няма да получим резултат. При несобствени интеграли, когато потърсиш границата при безкрайност и не получиш крайно число, т.е. тя не клони към определено число, това означава, че несобственият интеграл е разходящ. И така, тук няма граница. В известен смисъл можем да кажем, че трансформацията на Лаплас не е определена за (а – s) > 0, или когато а е по-голямо от s. А сега да видим случая, когато (a – s) е по-малко от 0? Тогава тук ще имаме отрицателно число, нали така? И сега, като повдигнем е на безкрайно голяма отрицателна степен, този израз вече ще клони към конкретно число. Ще клони към 0. Видяхме това в предишния урок. Надявам се, че успяваш да следиш всичко до момента? Числото `е` на безкрайно отрицателна степен клони към 0, а на безкрайно положителна степен е просто безкрайност, и тогава изразът не клони към нищо, не е сходящ. Да се върнем към втория случай. Тук допуснах, че (а – s) е по-малко от 0, т.е., че имам а < s. Ще допусна това предположение, за да може този несобствен интеграл да клони към конкретно число. И така, щом (а – s) е по-малко от 0, пред t имаме отрицателно число в степента на `е`, и когато t клони към безкрайност целият израз ще бъде 0. От това вадим този интеграл, пресметнат за t=0. Когато имаме 0 тук в степента, какво става? Целият степенен показател е 0. Изразът е `е` на нулева степен, което е равно на 1. Какво се получи? Минус 1 върху (а – s). Това е същото като 1 върху (s – a). Вече имаме още един ред в нашата таблица с трансформации на Лаплас. Това е трансформацията от `е` на степен at, която е равнa на 1/(s – a), при условие, че s е по-голямо от а. Тоест тя важи само тогава, когато s е по-голямо от а, или пък а е по-малко от s, което е същото. И така, това е нашият втори ред от таблицата с трансформации на Лаплас. Удивително. А сега да се върнем към първата трансформация на Лаплас от нашата таблица. Коя беше тя? Беше трансформацията на Лаплас от 1 равно на 1/s, нали помниш? Ето връзката с втората трансформация: нали 1 е равно на `е` на степен 0? Можем да заместим тук с а=0, ще го направя в лилаво. Вместо трансформация на Лаплас от 1 можем да напишем от `е` на степен 0 по t, нали? А това е равно на 1/s. За наш късмет, това отговаря на втората трансформация. И дори условията съвпадат, припомни си: при първата трансформация поставихме условие, че s е по-голямо от 0, нали? В онзи пример приехме, че s е по-голямо от 0. И тук също се получава, че s е по-голямо от 0. Така двата записа са напълно съгласувани един с друг. Тъй като за а=0, втората ни трансформация на Лаплас e от `е` на степен 0 и е равна на 1 върху s минус 0. Това прави точно 1/s. И условието е, че s е по-голямо от 0. Тогава тези двете трансформации се припокриват в този случай. Това винаги е приятно в математиката: да видим как съвпадат два резулата, получени по различен начин или при леко различни задачи, които накрая виждаме, че те са свързани помежду си. В следващия урок ще продължим да попълваме нашата таблица с трансформации на Лаплас и след няколко такива примера ще ти покажа каква е ползата от тези трансформации при решаване на различни диференциални уравнения. До скоро!