Основно съдържание
Курс: Диференциални уравнения > Раздел 3
Урок 1: Трансформация на ЛапласТрансформации на Лаплас (част 2)
Трансформация на Лаплас от e^at. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Нека направим още една
трансформация на Лаплас. Това ще ти помогне да разбереш
как се получават таблиците с трансформации на Лаплас,
които ще виждаш по-късно, и ще те улесняват в изчисленията. Това е част от по-късно обучение
по математика, но ще ти помогне да разбираш
по-добре цялостната картинка. Най-напред ще препиша определението
за трансформация на Лаплас. Това е голямата латинска буква L, обозначава трансформация на Лаплас
от някаква функция с аргумент t, което е равно на несобствения интеграл
от 0 до безкрайност от числото `е` на степен минус st,
умножено по нашата функция. Всичко това е спрямо dt. А сега ще извършим една нова
трансформация на Лаплас. Искаме да направим
трансформация на Лаплас, но сега нашата функция от t
е такава: `е` на степен at. Записах трансформация на Лаплас
от `е` на степен at. Заместваме нашата функция
в определението за трансформация на Лаплас. Това е равно на... Предстои ни едно хубаво упражнение
по интегриране, по-конкретно върху
интегриране по части. Почти всяка задача
с трансформация на Лаплас се свежда до
интегриране по части. Както вече знаем,
интегрирането по части е обърнатото правило
за диференциране на произведение. Нека продължим. Това е равно на интеграла
от 0 до безкрайност на `е` на степен минус st
по `е` на степен at, нали така? ето тук заместихме f(t)
с нашата функция. Накрая има dt. Тук можем просто
да съберем степените, защото са с една и съща
основа. Това става равно на интеграла
от 0 до безкрайност на `е` на степен (а – s) по t,
dt. Коя ще е примитивната функция
на този израз спрямо t? Това е равно на 1 делено на...
(a – s) е някаква константа, нали така? Значи можем да я оставим
пред скоби, става 1 върху (a – s),
по `е` на степен (a – s) по t. Ще изчислим това от
t равно на безкрайност, или границата при t клонящо
към безкрайност, до t=0. Можех да сложа дробта
и вътре в скобите, но тя е просто константа,
нали така? Нищо от нея не съдържа t,
затова мога да я изнеса извън скоби. Това е равно на 1/(а – s) по...
сега трябва да изчислим границата на този израз
при t, клонящо към безкрайност. Как намираме граница
при безкрайност? Тук имаме два случая,
нали помниш? Според знака на тази степен:
ако (a –s) е положително число, когато а е по-голямо от s,
какво се случва? Тогава, с приближаването на t
към безкрайност, `е` на безкрайна степен става все по-голямо
и по-голямо число. Тъй като степента на е става
безкрайно голямо положително число. В такъв случай
няма да получим резултат. При несобствени интеграли, когато
потърсиш границата при безкрайност
и не получиш крайно число, т.е. тя не клони към
определено число, това означава, че
несобственият интеграл е разходящ. И така, тук няма граница. В известен смисъл можем да кажем,
че трансформацията на Лаплас не е определена за (а – s) > 0,
или когато а е по-голямо от s. А сега да видим случая,
когато (a – s) е по-малко от 0? Тогава тук ще имаме
отрицателно число, нали така? И сега, като повдигнем е на безкрайно
голяма отрицателна степен, този израз вече ще клони към
конкретно число. Ще клони към 0. Видяхме това в предишния урок. Надявам се, че успяваш да следиш
всичко до момента? Числото `е` на безкрайно
отрицателна степен клони към 0, а на безкрайно положителна степен
е просто безкрайност, и тогава изразът не клони към нищо,
не е сходящ. Да се върнем към
втория случай. Тук допуснах, че (а – s) е по-малко от 0,
т.е., че имам а < s. Ще допусна това предположение,
за да може този несобствен интеграл да клони към конкретно число. И така, щом (а – s) е по-малко от 0,
пред t имаме отрицателно число в степента на `е`,
и когато t клони към безкрайност целият израз ще бъде 0. От това вадим този интеграл,
пресметнат за t=0. Когато имаме 0 тук в степента,
какво става? Целият степенен показател
е 0. Изразът е `е` на нулева степен,
което е равно на 1. Какво се получи? Минус 1 върху (а – s). Това е същото като
1 върху (s – a). Вече имаме още един ред
в нашата таблица с трансформации на Лаплас. Това е трансформацията от `е` на степен at,
която е равнa на 1/(s – a), при условие, че s
е по-голямо от а. Тоест тя важи само тогава,
когато s е по-голямо от а, или пък а е по-малко от s,
което е същото. И така, това е нашият втори ред
от таблицата с трансформации на Лаплас. Удивително. А сега да се върнем към първата
трансформация на Лаплас от нашата таблица. Коя беше тя? Беше трансформацията на Лаплас от 1
равно на 1/s, нали помниш? Ето връзката с втората трансформация:
нали 1 е равно на `е` на степен 0? Можем да заместим тук с а=0,
ще го направя в лилаво. Вместо трансформация
на Лаплас от 1 можем да напишем
от `е` на степен 0 по t, нали? А това е равно на 1/s. За наш късмет, това отговаря
на втората трансформация. И дори условията съвпадат, припомни си:
при първата трансформация поставихме условие, че
s е по-голямо от 0, нали? В онзи пример приехме,
че s е по-голямо от 0. И тук също се получава, че
s е по-голямо от 0. Така двата записа са напълно
съгласувани един с друг. Тъй като за а=0, втората ни
трансформация на Лаплас e от `е` на степен 0
и е равна на 1 върху s минус 0. Това прави точно 1/s. И условието е, че
s е по-голямо от 0. Тогава тези двете трансформации
се припокриват в този случай. Това винаги е приятно в математиката:
да видим как съвпадат два резулата, получени по различен
начин или при леко различни задачи, които накрая виждаме, че
те са свързани помежду си. В следващия урок
ще продължим да попълваме нашата таблица
с трансформации на Лаплас и след няколко такива примера
ще ти покажа каква е ползата от тези трансформации при решаване
на различни диференциални уравнения. До скоро!