If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

L{sin(at)} - трансформация на Лаплас от sin(at)

Трансформация на Лаплас от функцията sin(at) (част 1). Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Нека добавим още трансформации на Лаплас към нашата таблица. Сега ще решим една доста заплетена задача, която иска повишено внимание, за да не допуснем неволна грешка. Но тя е полезна за демонстрация на трансформацията на Лаплас. Всички задачи досега са приложими и занапред, ще ти кажа, когато започнем с не толкова полезните. И така, търсим трансформацията на Лаплас от функцията синус на някаква константа по t. По определението на трансформацията на Лаплас, тя е един несобствен интеграл. Трябва просто да приложим определението. Това е и самата трансформация: един много полезен инструмент. По-късно ще обсъдим още тази логика. И така, тя е интеграла от 0 до безкрайност от е на степен минус st по функцията, която трансформираме, тя е синус от аt, накрая dt. А сега можем да преминем към интегриране по части. Никога не си откривам записките, затова нека пак да изведем самото интегриране по части. Не е нужно да го правиш всеки път отначало. Ако се готвиш за изпит, може да запомниш принципа и само да го използваш на изпита. Запомни: интегрирането по части е правилото за диференциране на произведение, обърнато наобратно. Ще го развия в този ъгъл. Според правилото за диференциране на произведение, когато имаме две функции, U и V, производната на тяхното произведение U по V, да кажем, че те са функции от t, значи мога да запиша произведението като U(t) по V(t), то производната му е равна на производната на първата функция, умножена по втората функция, плюс първата функция по производната на втората. Като интегрирам двете страни, получавам U по V, това е U, равно на интеграла от U прим по V, спрямо dt, но ще го пропусна сега за по-кратко, плюс интеграла на U по V прим. Искам да запомня този израз. Нека извадим това от двете страни на равенството. Получаваме, че интегралът от U прим по V, е равен на тази страна, U по V, минус интеграла от U по V прим. Разбира се, това са функции на t. Затова накрая има dt. Често ми се налага да развивам това отстрани, защото винаги го забравям и рискувам да объркам къде има производна (прим), и къде – интеграл... Има начини за запомняне: според интегрирането по части, ако интегрирам производната на едната функция умножена по другата функция, това е равно на произведението на двете функции минус интеграла от обратното: от производната на втората по първата. Нали така? Когато стигнем до изваждането, има размяна под интеграла: функцията с прим вече е без, а за другата функция взимаме производната ѝ. Така ми е най-лесно да го запомня. А сега да го приложим към нашия случай. Ще заместим производните на U и V с изразите, които имаме горе. Нека с U прим да обозначим първата функция: е на степен минус st, и така U ще бъде примитивната функция: пресмятаме я, това е минус 1 върху s, по е на степен минус st, нали? В тази задача ще интегрираме по части два пъти, затова ще обознача самата трансформация на Лаплас като у. По-натам ще ми е полезно. В урока за интегриране по части имахме много подобен пример. Да се върнем на нашия пример. И така, това обозначихме с U. Ще използвам друг цвят за V. Този израз беше U прим, нали? Тогава това ще бъде само V, без прим. И така, с V обозначаваме синус от at. Тогава колко ще е V прим? Производната е 'а' по косинус от at, нали така? Правилото за диференциране на сложна функция (верижното правило). Вече сме готови да интегрираме. Трансформацията на Лаплас, която обозначих с у, е равна на... у е търсената от нас трансформация на Лаплас от синус at, и тя е равна на интеграла от U прим по V. Тях дефинирах преди малко, нали? Този израз е равен на това. Интеграл от U прим по V. Това е равно на UV, което е минус 1/s, по е на степен минус st, умножено по V, т.е. по синус от at, минус този интеграл... когато интегрираме по части, това може да е неопределен интеграл или несобствен, или определен, всякакъв. Но границите остават същите. Да уточним, че интегралът от U по V прим е от 0 до безкрайност. И така, U беше –1 върху s по е на степен минус st, това по V прим, което е 'а' по косинус от at, и спрямо dt. Получихме този заплетен интеграл. Решението може да иска още едно интегриране по части, наистина е така. Да видим има ли какво да опростим тук. Най-напред да изнесем константите. Ще препиша това. Имаме у равно на минус е на степен минус st, върху s, това по синус от at. После имаме минус минус, което е плюс а върху s, и двата минуса се неутрализират, по интеграла от 0 до безкрайност на е на степен минус st по косинус от at, спрямо dt. Време е за второто интегриране по части. Ще го разпиша с друг цвят, за да е ясно кое е второто интегриране по части. Ето тук. Отново ще заместим с U прим равно на е на степен минус st. Значи това е U прим. Тогава U е равно на –1/s по е на степен минус st. Тук ще положим V равно на косинус от at. Най-трудното е да не допуснем грешка по невнимание. После идва V прим, искам да е на същия ред, равно на минус а по синус от at, нали така? Съгласно верижното правило производната на косинус е минус синус. Сега да заместим това обратно и ще получим, че у е равно на още по-сложния израз: минус е на степен st, цялото върху s, по синус at, плюс а/s, умножено по... тук слагаме интегрирането по части. Първо е U по V. Това е минус 1/s по е на степен минус st, по V, по косинус от at, минус интеграла от 0 до безкрайност... уморих се от тази задача, тя изисква много концентрация: това е, за да не направя някоя малка грешка... И така, интегралът от 0 до безкрайност от U по V прим, като U тук е ето това, минус 1 върху s, по е на степен минус st. После V прим по минус а... този минус по минуса след интеграла става плюс и имаме само а по синус от at, dt. Вече му се вижда края. Време е да опростим този израз. И, разбира се, трябва да пресметнем всичко това, нали? Ще се наложи. Но сега да се съсредоточим върху неопределения интеграл Ще трябва да изчислим всичко това, ако приемем, че у е примитивната функция и да го изчислим от 0 до безкрайност. И така, у е равно на минус е на степен минус st върху s, по синус от at... А сега да разкрием тези скоби. Минус а/s на квадрат, по е на степен минус st по косинус от at. Сега трябва да внимаваме много. Така. Да умножим това по това и да изнесем константите отпред. Имаме a/s тук вътре, което е със знак минус, а отпред е плюс а/s. Значи става минус а на квадрат върху s на квадрат, по интеграла от 0 до безкрайност... но нека сега разпиша само неопределения интеграл, а с границите да се занимаем после... от е на степен минус st по синус от at, dt Тук има една хитринка за интегрирането по части, правили сме я и преди. Забележи, че този израз е същият като началното у. Ето го най-горе. Това означихме с у. Сега приехме, че имаме неопределен интеграл и засега не се интересуваме от границите. Но можеше да оставим границите през цялото време, щяхме само да имаме повече за записване. И така, можем да заместим този интеграл с у. Така е по определението му. Тук ще направим пауза, за да продължим в следващия видеоурок. Ще се видим след малко.