Делта-функция на Дирак

Когато ти представих функцията на Хевисайд, те предупредих, че тази функция е малко по-различна и необикновена, в сравнение с това, което познаваш от традиционния математически анализ, или това, което познаваш от часовете по алгебра. Причината да го въведем, е, че много физически системи имат подобно поведение. Например за дълъг период от време не се случва нищо и изведнъж – бам! Нещо се случва. И става ето така. (чертае) Не се случва точно по този начин, но може да се опише с функцията на Хевисайд. Подобно на това може дълго време да не се случва нищо, и изведнъж – бам! (чертае) Нещо те разтърсва наистина силно и след това изчезва, а след това нищо не се случва дълго време. И научаваш, че можеш да разглеждаш това като някакъв импулс. И сега ще говорим за единична импулсна функция и всичко това. Няма ли да е хубаво, ако имахме някакъв вид функция, с която да моделираме такова поведение? И в нашата идеална функция това, което се случва, е, че нищо не се случва, докато не достигнем до някаква точка, и след това – бам! (чертае) Новото състояние може да има безкрайна сила, но може би то има ограничена площ. А след това се връща отново до нула и продължава ето така. Нека стойността да е безкрайно голяма в точка нула, а след това продължава напред по този начин. Имаме някаква площ под отклонението. Да наречем това функция, означава да преувеличим, но това е извън обхвата на настоящия урок, така че за момента ще приемем, че това е някаква функция. Сигурно се чудиш за какво се използва тази функция. Как можеш да я манипулираш? И аз ще добавя още едно определение за тази функция. Нека да кажем, че тази функция е означена с δ (делта), и точно по този начин всъщност е означена. Наречена е делта-функция на Дирак или единична импулсна функция. Неформално ще кажем, че когато стойността ѝ е равна на безкрайност, то тогава х е равно на нула, и стойността ѝ е нула навсякъде, където х е различно от нула. Може би ще попиташ, какво да правим с тази функция? Как се намира интеграл от тази функция? За да ти помогна с това, ще дам едно определение. Ще ти кажа на какво е равен интегралът от тази функция. Това е част от определението за функцията. Ще ти кажа, че ако трябва да намериш интеграл от тази функция, от минус безкрайност до безкрайност – действително по цялата числова ос с реални числа – интегралът от тази функция – дефинираме, че този интеграл е равен на 1. Даваме му такова определение. Може би ще възразиш, че не съм го доказал. Не, не съм, защото го дефинирам по този начин. Казвам ти, че тази функция δ от x е функция, чийто интеграл е равен на едно. Имам тази безкрайно тясна основа, която стига безкрайно високо, и казвам, че площта под кривата е единица. Може би ще възразиш, че това е една щура функция и ти е нужно по-добро обяснение как е възможно някой да създаде подобна функция. Да видим дали мога да отговоря на въпроса ти. А когато разбереш това, ще намерим преобразованието на Лаплас от функцията и ще започнем да я манипулираме. Нека довърша буквата делта ето тук. Нека да кажем, че съм съставил друга функция. Нека я означим с d с индекс τ (тау). Правим го, за да удовлетворим нуждата ти да осмислиш нещата и да вникнеш в логиката им относно това как е била създадена функцията на Дирак. Нека това е делта-функцията d с индекс τ, която e функция от t, защото когато работим с трансформацията на Лаплас, винаги имаме функция от t. Нека функцията да е 1 върху 2 по тау. Ще разбереш защо избирам точно тези числа. 1 върху 2 по тау, когато t е по-малко от тау, и по-голямо от минус тау. А навсякъде другаде е нула. Този запис тук е логичен. Определението изглежда като комбинация от функции на Хевисайд. И действително можем да я определим така. Сега ще начертая функцията. Това е оста х. Сега ще поставя оста у ето тук. Това е оста у. О, извинявай! Това е оста t. (вместо х) Трябва да се отърва от този навик. Това е оста t и имам предвид, че другата ос може да у или f от t, или както изберем да я означим. Това е зависимата променлива. Добре, какво ще се случи сега? Навсякъде функцията ще бъде равна на нула, докато не достигнем до минус тау. В минус тау има скок до някакво ниво. Нека поставя тази точка тук. Това е минус тау, a това е плюс тау. Навсякъде ще бъде нула, а в минус тау ще "скочи" до тази стойност и ще остане константа на това ниво, докато не достигне до плюс тау. Дадено е, че на това ниво стойността на функцията е 1 върху 2 по тау. Тази точка тук върху оста на зависимата променлива, е 1 върху 2 по тау. Защо съставих тази функция по този начин? Нека да помислим. Какво ще се получи, ако изчисля следния интеграл? Нека го напиша по-хубаво. Ако намеря интеграл от минус безкрайност до плюс безкрайност, от d с индекс тау, от t, dt. На какво ще бъде равен интегралът? Ако интегралът е просто площта под тази крива, то това е доста лесно за изчисление. Само като погледнем функцията, виждаме, че навсякъде другаде стойността ѝ е нула. Навсякъде другаде е нула и имаме площ само ето тук. Тогава може да представим този интеграл като интеграл от минус тау до тау – няма значение дали е безкрайност, минус безкрайност или плюс безкрайност, защото под никоя от тези точки няма площ – интеграл от 1 върху 2 по тау, dτ (тау). О, извини ме! 1 върху 2 по тау, dt. Можем да го запишем по този начин, нали така? Защото можем да поставим границите от тук дотук, тъй като не получаваме нищо, независимо дали t клони към плюс безкрайност, или към минус безкрайност. В рамките на тези граници функцията е константа, 1 върху 2 по тау, така че можем просто да изчислим този интеграл. Ще го изчислим така или иначе. Не е необходимо да сме учили анализ, за да знаем на какво е равен този интеграл. Това е просто площта под тази крива, която е просто основата... На какво е равна основата? Основата е равна на 2 по тау. Имаме един път тау тук и още един път тау тук. Тогава получаваме 2 по тау, умножено по височината. Височината, както казах, е 1 върху 2 по тау. Следователно площта под кривата на тази функция, т.е. за този интеграл, е равна на 1. Можеш да изчислиш това. Досещаш се, че това ще бъде равно на примитивната функция на 1 върху 2 по тау. Ще я намеря, за да задоволя любопитството ти. Получава се t върху 2 по тау, и трябва да го изчислим от минус тау до тау. Заместваме с тау и получаваме тау върху 2 по тау, а след това минус минус тау върху 2 по тау. Получава се тау плюс тау, върху 2 по тау. Това е 2 по тау върху 2 по тау, което е равно на 1. Може би си губя времето. Мисля, че за теб е достатъчно, че площта ще бъде единица, независимо на какво е равно тау. Оставих задачата в общ вид. Ако тау приема все по-малки и по-малки стойности, какво ще се получи? Ако новото тау е ето тук, и нека да кажем, че е и ето тук. Просто избирам да е там. Сега 1 върху 2 по тау е по-малко число. След като е в знаменател, то 1 върху 2 по тау ще бъде нещо ето такова, нали така? Просто казвам, че ако избирам все по-малко и по-малко тау, дори още по-малко от това, то височината ми ще бъде още по-голяма. Моето 1 върху 2 по тау ще бъде дори по-високо и от това. Предполагам, че разбираш накъде отиваме. Какво става с границата, когато тау клони към нула? Каква е границата, когато тау клони към нула, от моята функция d с долен индекс тау? Каква е границата на този израз? Тези две стойности ще бъдат безкрайно близко до нула. Но това е границата. Никога няма да стигнат точно в нулата. А височината тук ще бъде безкрайно голяма. Няма значение на какво е равно тау – избираме го произволно – площта винаги ще бъде равна на единица. Накрая се получава делта-функцията на Дирак. Нека я запиша. Отново щях да запиша х. Делта-функцията на Дирак е функция от t. Ако търсиш границата, когато тау клони към нула, от интеграл от минус безкрайност до плюс безкрайност, от d с индекс тау, dt, то тя следва пак да е равна на единица, нали така? Защото този интеграл е равен на едно. Търсим границата, когато тау клони към нула. Доста свободно определям граници и какво ли още не. Не бях много точен. Мисля обаче, че разбираш в каква посока се движим. Това ще бъде равно на едно. И също така, като разсъждаваш логично, можеш да кажеш, че границата от минус безкрайност до плюс безкрайност, от делта-функцията на Дирак от t, dt, също ще бъде равна на едно. Подобно на това, делта-функцията на Дирак, т.е. този израз стига до безкрайност в t равно на нула. ще начертая оста х ето така (Сал греши, това е оста t) и в точката нула функцията на Дирак прави скок ето така. Обикновено я чертаем ето така. Обикновено я чертаем така, сякаш стига до едно, за да онагледим ето тази площ. И поставяме една стрелка тук, за да означим, че това е делта-функцията на Дирак. Какво обаче се получава, ако искаме да я отместим? Как ще представя функцията от (t – 3)? Как ще изглежда графиката ѝ? Просто ще изместим графиката надясно с 3. Например, когато t е равно на 3, то това ще бъде функцията на Дирак от 0. Тогава графиката изглежда просто ето така. Това ще бъде оста х. (Сал греши. Това е оста t) Нека това да е оста у. Нека това да е стойност едно. Нека поставя и няколко точки тук – едно, две, три. Това тук е t равно на 3. Ос х ли казах отново? Това е оста t. Това е t равно на 3. Дирак делта-функцията ще бъде нула навсякъде. Точно в точката 3 обаче става безкрайно висока. Очевидно нямам достатъчно място, за да начертая безкрайно висок скок тук. Това, което правим, е да я означим със стрелка. Поставяме една стрелка тук. Обикновено означаваме големината на площта под този скок. Правим го ето така. Нека да го изясня. Това не означава просто, че функцията стига до 1, а след това се връща обратно. Това ми казва, че площта под функцията е равна на едно. Този скок следва да е безкрайно висок, за да има някаква площ, защото има безкрайно тясна снова. Това е площта под тази импулсна функция, т.е. под делта-функцията на Дирак. Това е функцията от (t – 3). Площта под графиката обаче отново е равна на едно. Затова и направих стрелката да достига до едно. Ако искам да изобразя друга функция – ще избера различен цвят – искаме да начертаем графиката на 2 по делта-функцията на Дирак от (t – 2). Как ще изглежда това? Избирам t минус 2. Когато t е равно на 2, получаваме, делта-функцията на Дирак от нула. Ето тук ще бъде нашата стрелка. Умножаваме я по 2 и затова ще направим стрелката два пъти по-висока от предната. И двете стигат до безкрайност, но тази стига два пъти по-високо до безкрайност. Знаем, че това изглежда малко глупаво казано по този начин. Идеята обаче тук е, че площта под тази крива следва да е два пъти по-голяма от площта под тази. Ето затова правим стрелката да достига до 2, т.е. за да покажем, че площта под тази стрелка, е равна на 2. Скокът стига безкрайно високо. Всичко това е абстрактен, но удобен начин да моделираме обстоятелства, които са толкова шокиращи. Очевидно няма нещо с такова поведение, но във физиката има много явления, или по-точно в реалния свят, при които има подобна рязка промяна. Вместо да се питаме как точно би изглеждал подобен скок, казваме, че това е делта-функцията на Дирак. И ще онагледим импулса ѝ по подобен начин. Искам още малко да засиля интереса ти към тази функция. Мислех да стигна дотук в последния урок, но след това реших да не го правя. Просто ще го покажа обаче, защото решихме много диференциални уравнения, без да ти обясня къде намират приложение в реалния свят. Представи си, че имаш някаква стена, например, за която имаш закачена пружина, а за нея има закачена някаква маса. Нека ето това да е равновесното положение на пружината. Тя се стреми към него, освен ако не е разпъната на разстояние у от своето равновесно положение. Нека ето тук да действа някаква външна сила, приложена върху пружината, която е върху лед, за да няма триене при движението. Просто искам да ти покажа, че може да се представи поведението на една такава система чрез диференциално уравнение. Наистина неща като функцията на Хевисайд или делта-функцията на Дирак са много удобни при такива условия. Знаем, че силата F е равна на масата, умножена по ускорението. Това е елементарна физика. Кои са всички сили, които действат върху тази маса в момента? Имаме тази сила ето тук – това е положителната посока надясно – тоест тази сила, а след това има и една сила с отрицателна посока, която действа върху пружината. Силата, упражнявана от пружината, се определя от закона на Хук. Пропорционална е на разстоянието, на което е разпъната от своето равновесно състояние, т.е. тя действа в ето тази посока. Означаваме я с k по у или минус k по y, защото има противоположна посока на посоката, която определихме като положителна. Сумарната сила върху тази пружина е F минус k по y. Това е равно на масата на закаченото тяло по ускорението му. А какво е ускорението му? Нека позицията на тялото е y. Търсим производната на у спрямо t, т.е. y'. Това е dy/dt, което е скоростта на тялото. След това, ако намерим производната и на този израз, т.е. y'' – което е равно на d квадрат y, спрямо dt квадрат – то това ще бъде равно на ускорението. Вместо да запишем а, може да запишем у'' (у секонд). Ако преместим този член от другата страна на знака за равенство, то какво ще се получи? Получаваме силата, ето тази (показва на екрана сумарната сила), а не просто тази сила, която е равна на m по а. Общата сила е равна на масата на тялото, умножена по ускорението му, плюс коефициента на еластичност на пружината, т.е. плюс k, умножена по позицията, която е у. Ако нямаше външна сила, т.е. това беше равно на нула, щяхме да имаме хомогенно диференциално уравнение. В такъв случай пружината просто ще се движи самостоятелно. Сега обаче, поради тази сила F, уравнението не е хомогенно и това е външната сила, която прилагаме върху тялото. Тази външна сила е от вида на делта-функцията на Дирак, например t минус 2, и това е равно на масата по y'', плюс коефициента на еластичност на пружината, по у. Все едно да заявим, че в момент t равен на 2 секунди, просто ще издърпаме това тяло надясно. Ще говорим по-късно за това. А сега тялото ще получи импулс, равен на две. Това е сила, умножена по време, т.е. импулс, който е равен на едно. Не искам да навлизам твърде много във физиката, но импулса, или промяната на кинетичната енергия, ще бъде с големина едно, според мерните единици, които изберем. Исках малко да се отклоня, защото може би си мислиш, че представям без причина тези екзотични функции. За какво ще са ни полезни въобще? Ползваме ги в случай като този, когато просто издърпваме това тяло с някаква сила и след това го освобождаваме. Правим го безкрайно бързо, но достатъчно, за да променим кинетичната му енергия по точно определен начин. В следващия урок ще продължим с делта-функцията на Дирак. Ще намерим трансформацията на Лаплас от тази функция, за да видим как това влияе върху трансформацията на Лаплас от други функции.