If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:19:15

Видео транскрипция

Много от нещата за трансформацията или преобразованието на Лаплас, за правата и обратна задача, са свързани с разпознаване на типове задачи. Но това не трябва да се прави механично и поради това ще се упражним, за да видим как става. За да се уверим, че няма да стане объркване, ще е полезно да преговорим всичко, което научихме дотук. В предния урок показахме трансформация на Лаплас. Нека първо запиша нещо. Трансформацията на Лаплас от f от t, ще я запиша – е равно на голямо F от s, както споменах и преди. Това е дадено, а в предния урок ти показах, че ако имаме работа с функция на Хевисайд и търсим трансформацията ѝ на Лаплас, то тя (трансформацията) от 1 за дадена стойност с, умножено по една отместена функция f от (t – с). В предния урок видяхме, че това е равно на 'е' на степен минус c по s, по трансформацията на Лаплас от тази функция тук, т.е. по F от s. Много е важно да не бъркаш тази трансформация или преобразование на Лаплас, както и да наречеш това, с друга подобна. Мисля за един от уроците, които направих миналата година. Ако следиш уроците по ред обаче, мисля, че е преди три или четири урока. И в него научихме, че трансформацията на Лаплас от 'е' на степен a по t, умножено по f от t, е равно на следното... Искам да обясня разликата много ясно. Тук (записът в зелено) отместихме функцията f от t и получихме обикновена функция F от s. В този случай (записът в жълто), когато умножим по 'e' на степен плюс a по t, отместваме действителната трансформация. Тогава това става F от (s – а). Тези две свойства, или правила, както и да ги наречем, е много лесно да бъдат объркани едно с друго. Ще решим няколко примера, в които ще трябва да определим кое от двете да използваме. Нека запишем и всичко останало, което научихме. Първо научихме, че трансформацията на Лаплас за 1 е равна на 1 върху s. Знаем, че това е много лесно да се докаже. А в общия случай научихме, че трансформацията на Лаплас от t на степен n, където n е положително цяло число, е равна на n факториел върху s на степен (n + 1). След това разгледахме тригонометричните функции. Нека го запиша с друг цвят. Ще го направя ето тук. Трансформацията на Лаплас от синус от a по t, e равна на a върху s квадрат, плюс а квадрат. А трансформацията на Лаплас от косинус от a по t, е равно на s върху s квадрат плюс а квадрат. Ще се изумиш колко далеч можем да стигнем само с това, което записах дотук. В следващите уроци ще разширим познанията си още повече, но с тези дотук вече можеш да направиш цяла една група от трансформации и обратни трансформации на Лаплас. Нека решим няколко. Нека е дадена трансформация на Лаплас. Знаеш, че това е трудната част. Смятам, че ще знаеш как да решиш едно диференциално уравнение, ако знаеш как да намериш трансформация и обратна трансформация на Лаплас. Трудната част е просто да разпознаеш или да "обърнеш" дадената трансформация на Лаплас. Нека е дадена трансформация на Лаплас за някаква функция F от s. Нека това е 3 факториел върху (s – 2) на четвърта степен. Сега частта от мозъка ти, която разпознава модели, следва веднага да каже, "Виж, имаме дадена трансформация на Лаплас от нещо, което съдържа факториел, и е върху нещо на степен. Това следва да е свързано с този израз ето тук, нали така? Имаме трансформацията на Лаплас. Нека го запиша. Виждаш 3 факториел и четвърта степен, така че вероятно n е равно на 3. Можем да запишем трансформацията на Лаплас от t на трета степен, т.е. това правило, което показахме ето тук. Означава, че ще бъде равно на 3 факториел върху s на четвърта степен. Но този пример не е същият като този тук. Не са съвсем едно и също. Сега решавам тези примери, за да ти покажа как се прави, но аз ги извеждам, когато се подготвям за изпит. Спомням си, когато ги решавах и за пръв път научих това. Предпочитам да следвам алгоритъма, защото определено човек не иска да направи груба грешка и определено иска да е сигурен, че разбира какво прави. Търсиш нещо, свързано с този израз, но каква е разликата между този израз ето тук и израза, на който се опитваме да намерим обратната трансформация на Лаплас, т.е. ето този тук? Отместихме функцията s. Ако наречем този израз тук F от s, то какъв е този израз? Този израз тук е F от (s –2). С какво имаме работа тук? Ето тук имаме отместена функция F от s. Тогава в този случай а ще бъде равно на 2. Това е трансформацията на Лаплас от 'e' на степен a по t, умножено по f от t. Нека го запиша. Това е трансформация на Лаплас от 'е' на степен... А какво е а? а е стойността на отместването. Функцията е отместена с минус а, а тук имаме плюс а. Тоест 'е' на степен 2 по t, умножено по дадената функция. Ако това е просто F от s, то какво ще бъде f от t? Е, вече я намерихме, равна е на t на трета степен. Трансформацията на Лаплас на този израз е равна на този израз. (виж жълтата стрелка) Или може да запишем, че обратната трансформация на Лаплас от 3 факториел върху (s – 2) на четвърта степен, е равно на 'е' на степен 2 по t, по t на трета степен. Ако това дотук ти изглежда объркващо, просто ще продължим напред и ще го приложим. Нека да решим обратната задача и може би ще ти стане по-ясно. Нека започнем от този израз. (загражда трансформация в синьо) Ако търся трансформацията на Лаплас от този израз, бих казал така. Добре, трансформацията на Лаплас от t на трета степен е лесна. Мисля, че писалката тук не работи добре. Нека се кача малко нагоре. Сега мога да го запиша тук. Искам да намеря трансформацията на Лаплас от 'е' на степен 2 по t, по t на трета степен. Спомням си, че 'е' на степен 2 по t отмества нещо. Трансформацията на Лаплас от t на трета степен е лесна. Равно е на 3 факториел върху s на четвърта степен. Това е 3 плюс 1. Тогава трансформацията на Лаплас от 'е' на степен 2 по t, умножено по t на трета, ще бъде отместена. Този израз е равен на F от s. Тогава този израз ще бъде равен на F от (s – 2). А какво е F от (s – 2)? Ще бъде равно на 3 факториел върху (s – 2) на четвърта степен. Мисля, че вече можеш да оцениш, че най-трудното нещо относно задачите за трансформация на Лаплас е разпознаването на всички тези отмествания и типове, разпознаване кое е 'а' и кое 'с'. Трябва много да внимаваш, за да не направиш груба грешка. Мисля, че решаването на много примери е доста полезно. Нека решим още няколко, за да се уверим, че нещата наистина ще се затвърдят в съзнанието ти. Нека опитаме нещо такова. Този изглежда малко по-сложен. Трансформацията на Лаплас на някаква функция е равна на 2 по (s – 1), по 'е' на степен минус 2 по s, и всичко това върху s квадрат, минус 2 по s, плюс 2. Този израз изглежда много сложен. Какво ще правим с него? Тук имам е. Тук имам някакво отместване. Тук в знаменателя има някакъв полином. Какво да правим с този израз? Първото, което се питам като гледам полинома в знаменателя, е как да го разложа на множители. Мога ли сравнително просто да го разложа? В изпитите, които ще полагаш в курсовете по диференциални уравнения, никога няма да ти дадат нещо, което се разлага с такива странни числа. Предимно са цели числа. Добре, а какви са двете числа? Следва да бъдат положителни. Произведението им дава 2. А когато ги събереш, получаваш минус 2, а може и двете да са отрицателни. Но не са две лесни числа като 1 или 2. Нито едно от тези не става. Ако не можеш директно да разложиш знаменателя, следващата идея е да го допълним до точен квадрат, и може би ще съвпадне с някоя от формулите за синус или косинус. Как да допълним до точен квадрат този знаменател? Може да го запишем като s квадрат, минус 2 по s. А тук извън скобите ще поставя плюс 2. Има много уроци, които да гледаш, за допълване до точен квадрат, ако всичко това ти е непознато. Допълването до точен квадрат означава, че искаме да превърнем това в скобите в точен квадрат. Превръщаме го в точен квадрат по следния начин: търсим кое число, умножено по две прави минус 2. Числото е минус 1. Повдигаме го на квадрат, става плюс 1. Прибавяме плюс 1 към израза в скобите. Не мога така произволно да прибавя плюс 1 към някакъв израз, без да го компенсирам. Ще извадя 1. Така знаменателят не се променя. Прибавих 1 и извадих 1. Кратък пример за допълване до точен квадрат. След като направих това, мога да кажа следното за този израз. Мога да кажа, че ето това тук е (s – 1) на квадрат. А това нещо тук, е 2 минус 1. Това е просто плюс 1. Сега мога да запиша отново целия израз като 2 по (s – 1), по 'е' на степен минус 2 по s. Нека се уверя, че не отрязвам написаното отгоре. Следва 'е' на степен минус 2 по s и всичко това върху (s – 1) на квадрат, плюс 1. Няколко интересни неща изглежда, че се случват тук. Нека решим още няколко тестови трансформации на Лаплас. Трансформацията на Лаплас за косинус от t знаем, че е равно на s върху s квадрат плюс 1, на което прилича и ето този израз, ако това беше s квадрат плюс 1. Ако това е F от s, то какъв е този израз? Нека за малко да оставим този израз тук. Какъв е този израз? Знаем от предния урок. Какво ще стане, ако търсим трансформацията на Лаплас от 'e' на степен 1 по t. Просто ще го запиша като 'е' на степен 1 по t, умножено по косинус от t. Това просто ще отмести трансформацията на Лаплас с единица. Отмества я с единица надясно. Там където видиш s, просто записваш (s – 1). Тогава това ще бъде равно на (s – 1). върху (s – 1) на квадрат, плюс 1. Приближаваме се към решението. Досега решихме тази част ето тук. В предния урок или преди два урока, или може би в последния такъв, не си спомням, ти показах следното: ако е дадена трансформацията на Лаплас от функцията на Хевисайд от t, умножена по f от t, която е отместена с някаква стойност с, то това е равно на 'е' на степен минус s по c, умножено по F от s. Добре, това може да стане много объркващо. Това може да стане много объркващо, така че искам да бъда много внимателен. Нека оставим всичко това тук. Означих този израз с F от s, но сега ще се върна малко назад. Нека просто пренебрегнем това, защото ще дефинирам отново F от s. Нека го пренебрегнем за момент. Нека определим f от t да бъде ето този израз. (подчертава го с червено) Нека това да е f от t. Нека f от t е равно на 'е' на степен t по косинус t. Тогава, ако търсиш трансформацията на Лаплас, това означава, че това F от s е равно на (s – 1) върху (s – 1) на квадрат, плюс 1. Няма нищо странно дотук. Просто определих f от t като този израз и тогава F от s става този израз. Получава се интересна ситуация. Нека пренебрегнем това 2 тук. Това 2 е просто мащабиращ коефициент. Този израз тук можем да запишем като равно на следното. Това е нашата функция F от s. Този израз тук е равен на 2 по F от s, умножено по 'e' на степен минус 2 по s. Ще го запиша отново. Нека променя реда, така че да изглежда правилно. 2 по 'е' на степен минус 2 по s, умножено по F от s. Този израз ще изглежда точно като този, ако с беше равно на 2. А какво означава това? Свързано е с обратната трансформация на Лаплас. Нека намерим обратната трансформация на Лаплас и нека пренебрегнем това 2. Търсим обратната трансформация на Лаплас за целия този израз. Обратната трансформация на Лаплас за целия израз ще бъде равна на следното. Може да запишем това число 2 като мащабиращ коефициент, т.е. 2 по този израз (подчертава го с жълто), умножено по единичната стъпаловидна функция. Какво е нашето с? Може просто да проследим модела. Ето тук имаме 2. Имаме с, т.е. минус с. Тук минус 2, т.е. с е равно на 2. Единичната стъпаловидна функция, която е 0, докато не достигне до 2, от t, и тогава става 1 след t равно на 2. Умножено по функцията f, отместена с 2. Това е обратната трансформация на Лаплас. А каква беше нашата функция? Нашата функция беше този израз ето тук. Обратната трансформация на Лаплас за този израз, който записах, е този израз, f от t. f от t е равно на 'е' на степен t по косинус от t. Нека да запиша всичко. Нека запиша този важен резултат. Установихме, че обратната трансформация на Лаплас от този голям израз, който записах преди (записва със синьо), 2 по (s – 1), умножено по 'e' на степен минус 2 по s, върху s квадрат, минус 2 по s, плюс 2, е равно на този израз. A f от t е равно на този израз. Може да го запишем като 2 по функция на Хевисайд от t, която започва в 2, т.е. там става различна от 0, умножено по f от (t – 2). А f от (t – 2) е този израз, като t е заместено от (t – 2). Ще го запиша с друг цвят, за да не е еднообразно. Ще стане 'e' на степен (t – 2), по косинус от (t – 2). Може би се питаш защо трябваше да преминем през всички тези малки стъпки в тази задача, за да ти я обясня. Аз обаче предприех такива малки стъпки в тази задача, за да не се объркам. И смятам, че е важно да не прескачаш тези стъпки. Нека разгледаме през какви малки стъпки преминахме. Наистина искам да разгледаме решението. Това е учудващо добра задача. Не го осъзнах, когато за първи път избрах да я реша. Решихме ето този пример. Искахме да приведем този знаменател във вид, който е удобен за работа, така че допълнихме до точен квадрат. След това записахме отново трансформацията на Лаплас, т.е. функцията f от s ето така. След това използвахме разпознаване на типови задачи. Знаем, че ако намерим трансформацията на Лаплас от косинус от t, ще получим s върху s квадрат плюс 1. Тук обаче не е s върху s квадрат плюс 1. Тук е –1 върху (s – 1) на квадрат, плюс 1. Това означава, че умножаваме първоначалната функция на времето. Умножаваме f от t по 'e' на степен 1 по t. Ето това получихме тук. Трансформацията на Лаплас от 'е' на степен t, по косинус от t, става (s – 1) върху (s – 1) на квадрат, плюс 1. След това имахме това 'е' на степен минус 2 по s през цялото време. Тук е мястото, където казахме, че, ако имаме 'е' на степен минус 2 по s в трансформацията на Лаплас, то обратната трансформация на Лаплас следва да е равна на функцията на Хевисайд, умножена по отместена версия на същата функция на `е`. И затова бях много внимателен. Имахмеме тази двойка тук през цялото време, и можех да я използвам, когато реша. Обикновените константи просто са коефициенти. Функцията е равна на 2 пъти по трансформацията на Лаплас от ето тази функция и обратно. Двойките са много удобни за работа, така че през повечето време пренебрегвах това. Именно поради това бях много внимателен. Определих отново f от t като този израз, а F от s като този израз. Ако F от s е това, и ако го умножа по 'e' на степен минус 2 по s, то това, което всъщност правя, е да получа този модел ето тук. Отговорът на проблема е функцията на Хевисайд. Просто изнасям 2 отпред. 2 по функцията на Хевисайд, умножена по f от t, отместена с с. Установихме, че това беше f от t, така че просто я преместихме със с. Преместихме я с 2 и получихме крайния резултат. Дотук тази задача е толкова трудна, колкото и намиране на обратна трансформация на Лаплас. Надявам се, че урокът ти е бил интересен.