If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Примери за обратна трансформация на Лаплас

Използване на наученото за извършване на обратна трансформация на Лаплас. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Много от нещата за трансформацията или преобразованието на Лаплас, за правата и обратна задача, са свързани с разпознаване на типове задачи. Но това не трябва да се прави механично и поради това ще се упражним, за да видим как става. За да се уверим, че няма да стане объркване, ще е полезно да преговорим всичко, което научихме дотук. В предния урок показахме трансформация на Лаплас. Нека първо запиша нещо. Трансформацията на Лаплас от f от t, ще я запиша – е равно на голямо F от s, както споменах и преди. Това е дадено, а в предния урок ти показах, че ако имаме работа с функция на Хевисайд и търсим трансформацията ѝ на Лаплас, то тя (трансформацията) от 1 за дадена стойност с, умножено по една отместена функция f от (t – с). В предния урок видяхме, че това е равно на 'е' на степен минус c по s, по трансформацията на Лаплас от тази функция тук, т.е. по F от s. Много е важно да не бъркаш тази трансформация или преобразование на Лаплас, както и да наречеш това, с друга подобна. Мисля за един от уроците, които направих миналата година. Ако следиш уроците по ред обаче, мисля, че е преди три или четири урока. И в него научихме, че трансформацията на Лаплас от 'е' на степен a по t, умножено по f от t, е равно на следното... Искам да обясня разликата много ясно. Тук (записът в зелено) отместихме функцията f от t и получихме обикновена функция F от s. В този случай (записът в жълто), когато умножим по 'e' на степен плюс a по t, отместваме действителната трансформация. Тогава това става F от (s – а). Тези две свойства, или правила, както и да ги наречем, е много лесно да бъдат объркани едно с друго. Ще решим няколко примера, в които ще трябва да определим кое от двете да използваме. Нека запишем и всичко останало, което научихме. Първо научихме, че трансформацията на Лаплас за 1 е равна на 1 върху s. Знаем, че това е много лесно да се докаже. А в общия случай научихме, че трансформацията на Лаплас от t на степен n, където n е положително цяло число, е равна на n факториел върху s на степен (n + 1). След това разгледахме тригонометричните функции. Нека го запиша с друг цвят. Ще го направя ето тук. Трансформацията на Лаплас от синус от a по t, e равна на a върху s квадрат, плюс а квадрат. А трансформацията на Лаплас от косинус от a по t, е равно на s върху s квадрат плюс а квадрат. Ще се изумиш колко далеч можем да стигнем само с това, което записах дотук. В следващите уроци ще разширим познанията си още повече, но с тези дотук вече можеш да направиш цяла една група от трансформации и обратни трансформации на Лаплас. Нека решим няколко. Нека е дадена трансформация на Лаплас. Знаеш, че това е трудната част. Смятам, че ще знаеш как да решиш едно диференциално уравнение, ако знаеш как да намериш трансформация и обратна трансформация на Лаплас. Трудната част е просто да разпознаеш или да "обърнеш" дадената трансформация на Лаплас. Нека е дадена трансформация на Лаплас за някаква функция F от s. Нека това е 3 факториел върху (s – 2) на четвърта степен. Сега частта от мозъка ти, която разпознава модели, следва веднага да каже, "Виж, имаме дадена трансформация на Лаплас от нещо, което съдържа факториел, и е върху нещо на степен. Това следва да е свързано с този израз ето тук, нали така? Имаме трансформацията на Лаплас. Нека го запиша. Виждаш 3 факториел и четвърта степен, така че вероятно n е равно на 3. Можем да запишем трансформацията на Лаплас от t на трета степен, т.е. това правило, което показахме ето тук. Означава, че ще бъде равно на 3 факториел върху s на четвърта степен. Но този пример не е същият като този тук. Не са съвсем едно и също. Сега решавам тези примери, за да ти покажа как се прави, но аз ги извеждам, когато се подготвям за изпит. Спомням си, когато ги решавах и за пръв път научих това. Предпочитам да следвам алгоритъма, защото определено човек не иска да направи груба грешка и определено иска да е сигурен, че разбира какво прави. Търсиш нещо, свързано с този израз, но каква е разликата между този израз ето тук и израза, на който се опитваме да намерим обратната трансформация на Лаплас, т.е. ето този тук? Отместихме функцията s. Ако наречем този израз тук F от s, то какъв е този израз? Този израз тук е F от (s –2). С какво имаме работа тук? Ето тук имаме отместена функция F от s. Тогава в този случай а ще бъде равно на 2. Това е трансформацията на Лаплас от 'e' на степен a по t, умножено по f от t. Нека го запиша. Това е трансформация на Лаплас от 'е' на степен... А какво е а? а е стойността на отместването. Функцията е отместена с минус а, а тук имаме плюс а. Тоест 'е' на степен 2 по t, умножено по дадената функция. Ако това е просто F от s, то какво ще бъде f от t? Е, вече я намерихме, равна е на t на трета степен. Трансформацията на Лаплас на този израз е равна на този израз. (виж жълтата стрелка) Или може да запишем, че обратната трансформация на Лаплас от 3 факториел върху (s – 2) на четвърта степен, е равно на 'е' на степен 2 по t, по t на трета степен. Ако това дотук ти изглежда объркващо, просто ще продължим напред и ще го приложим. Нека да решим обратната задача и може би ще ти стане по-ясно. Нека започнем от този израз. (загражда трансформация в синьо) Ако търся трансформацията на Лаплас от този израз, бих казал така. Добре, трансформацията на Лаплас от t на трета степен е лесна. Мисля, че писалката тук не работи добре. Нека се кача малко нагоре. Сега мога да го запиша тук. Искам да намеря трансформацията на Лаплас от 'е' на степен 2 по t, по t на трета степен. Спомням си, че 'е' на степен 2 по t отмества нещо. Трансформацията на Лаплас от t на трета степен е лесна. Равно е на 3 факториел върху s на четвърта степен. Това е 3 плюс 1. Тогава трансформацията на Лаплас от 'е' на степен 2 по t, умножено по t на трета, ще бъде отместена. Този израз е равен на F от s. Тогава този израз ще бъде равен на F от (s – 2). А какво е F от (s – 2)? Ще бъде равно на 3 факториел върху (s – 2) на четвърта степен. Мисля, че вече можеш да оцениш, че най-трудното нещо относно задачите за трансформация на Лаплас е разпознаването на всички тези отмествания и типове, разпознаване кое е 'а' и кое 'с'. Трябва много да внимаваш, за да не направиш груба грешка. Мисля, че решаването на много примери е доста полезно. Нека решим още няколко, за да се уверим, че нещата наистина ще се затвърдят в съзнанието ти. Нека опитаме нещо такова. Този изглежда малко по-сложен. Трансформацията на Лаплас на някаква функция е равна на 2 по (s – 1), по 'е' на степен минус 2 по s, и всичко това върху s квадрат, минус 2 по s, плюс 2. Този израз изглежда много сложен. Какво ще правим с него? Тук имам е. Тук имам някакво отместване. Тук в знаменателя има някакъв полином. Какво да правим с този израз? Първото, което се питам като гледам полинома в знаменателя, е как да го разложа на множители. Мога ли сравнително просто да го разложа? В изпитите, които ще полагаш в курсовете по диференциални уравнения, никога няма да ти дадат нещо, което се разлага с такива странни числа. Предимно са цели числа. Добре, а какви са двете числа? Следва да бъдат положителни. Произведението им дава 2. А когато ги събереш, получаваш минус 2, а може и двете да са отрицателни. Но не са две лесни числа като 1 или 2. Нито едно от тези не става. Ако не можеш директно да разложиш знаменателя, следващата идея е да го допълним до точен квадрат, и може би ще съвпадне с някоя от формулите за синус или косинус. Как да допълним до точен квадрат този знаменател? Може да го запишем като s квадрат, минус 2 по s. А тук извън скобите ще поставя плюс 2. Има много уроци, които да гледаш, за допълване до точен квадрат, ако всичко това ти е непознато. Допълването до точен квадрат означава, че искаме да превърнем това в скобите в точен квадрат. Превръщаме го в точен квадрат по следния начин: търсим кое число, умножено по две прави минус 2. Числото е минус 1. Повдигаме го на квадрат, става плюс 1. Прибавяме плюс 1 към израза в скобите. Не мога така произволно да прибавя плюс 1 към някакъв израз, без да го компенсирам. Ще извадя 1. Така знаменателят не се променя. Прибавих 1 и извадих 1. Кратък пример за допълване до точен квадрат. След като направих това, мога да кажа следното за този израз. Мога да кажа, че ето това тук е (s – 1) на квадрат. А това нещо тук, е 2 минус 1. Това е просто плюс 1. Сега мога да запиша отново целия израз като 2 по (s – 1), по 'е' на степен минус 2 по s. Нека се уверя, че не отрязвам написаното отгоре. Следва 'е' на степен минус 2 по s и всичко това върху (s – 1) на квадрат, плюс 1. Няколко интересни неща изглежда, че се случват тук. Нека решим още няколко тестови трансформации на Лаплас. Трансформацията на Лаплас за косинус от t знаем, че е равно на s върху s квадрат плюс 1, на което прилича и ето този израз, ако това беше s квадрат плюс 1. Ако това е F от s, то какъв е този израз? Нека за малко да оставим този израз тук. Какъв е този израз? Знаем от предния урок. Какво ще стане, ако търсим трансформацията на Лаплас от 'e' на степен 1 по t. Просто ще го запиша като 'е' на степен 1 по t, умножено по косинус от t. Това просто ще отмести трансформацията на Лаплас с единица. Отмества я с единица надясно. Там където видиш s, просто записваш (s – 1). Тогава това ще бъде равно на (s – 1). върху (s – 1) на квадрат, плюс 1. Приближаваме се към решението. Досега решихме тази част ето тук. В предния урок или преди два урока, или може би в последния такъв, не си спомням, ти показах следното: ако е дадена трансформацията на Лаплас от функцията на Хевисайд от t, умножена по f от t, която е отместена с някаква стойност с, то това е равно на 'е' на степен минус s по c, умножено по F от s. Добре, това може да стане много объркващо. Това може да стане много объркващо, така че искам да бъда много внимателен. Нека оставим всичко това тук. Означих този израз с F от s, но сега ще се върна малко назад. Нека просто пренебрегнем това, защото ще дефинирам отново F от s. Нека го пренебрегнем за момент. Нека определим f от t да бъде ето този израз. (подчертава го с червено) Нека това да е f от t. Нека f от t е равно на 'е' на степен t по косинус t. Тогава, ако търсиш трансформацията на Лаплас, това означава, че това F от s е равно на (s – 1) върху (s – 1) на квадрат, плюс 1. Няма нищо странно дотук. Просто определих f от t като този израз и тогава F от s става този израз. Получава се интересна ситуация. Нека пренебрегнем това 2 тук. Това 2 е просто мащабиращ коефициент. Този израз тук можем да запишем като равно на следното. Това е нашата функция F от s. Този израз тук е равен на 2 по F от s, умножено по 'e' на степен минус 2 по s. Ще го запиша отново. Нека променя реда, така че да изглежда правилно. 2 по 'е' на степен минус 2 по s, умножено по F от s. Този израз ще изглежда точно като този, ако с беше равно на 2. А какво означава това? Свързано е с обратната трансформация на Лаплас. Нека намерим обратната трансформация на Лаплас и нека пренебрегнем това 2. Търсим обратната трансформация на Лаплас за целия този израз. Обратната трансформация на Лаплас за целия израз ще бъде равна на следното. Може да запишем това число 2 като мащабиращ коефициент, т.е. 2 по този израз (подчертава го с жълто), умножено по единичната стъпаловидна функция. Какво е нашето с? Може просто да проследим модела. Ето тук имаме 2. Имаме с, т.е. минус с. Тук минус 2, т.е. с е равно на 2. Единичната стъпаловидна функция, която е 0, докато не достигне до 2, от t, и тогава става 1 след t равно на 2. Умножено по функцията f, отместена с 2. Това е обратната трансформация на Лаплас. А каква беше нашата функция? Нашата функция беше този израз ето тук. Обратната трансформация на Лаплас за този израз, който записах, е този израз, f от t. f от t е равно на 'е' на степен t по косинус от t. Нека да запиша всичко. Нека запиша този важен резултат. Установихме, че обратната трансформация на Лаплас от този голям израз, който записах преди (записва със синьо), 2 по (s – 1), умножено по 'e' на степен минус 2 по s, върху s квадрат, минус 2 по s, плюс 2, е равно на този израз. A f от t е равно на този израз. Може да го запишем като 2 по функция на Хевисайд от t, която започва в 2, т.е. там става различна от 0, умножено по f от (t – 2). А f от (t – 2) е този израз, като t е заместено от (t – 2). Ще го запиша с друг цвят, за да не е еднообразно. Ще стане 'e' на степен (t – 2), по косинус от (t – 2). Може би се питаш защо трябваше да преминем през всички тези малки стъпки в тази задача, за да ти я обясня. Аз обаче предприех такива малки стъпки в тази задача, за да не се объркам. И смятам, че е важно да не прескачаш тези стъпки. Нека разгледаме през какви малки стъпки преминахме. Наистина искам да разгледаме решението. Това е учудващо добра задача. Не го осъзнах, когато за първи път избрах да я реша. Решихме ето този пример. Искахме да приведем този знаменател във вид, който е удобен за работа, така че допълнихме до точен квадрат. След това записахме отново трансформацията на Лаплас, т.е. функцията f от s ето така. След това използвахме разпознаване на типови задачи. Знаем, че ако намерим трансформацията на Лаплас от косинус от t, ще получим s върху s квадрат плюс 1. Тук обаче не е s върху s квадрат плюс 1. Тук е –1 върху (s – 1) на квадрат, плюс 1. Това означава, че умножаваме първоначалната функция на времето. Умножаваме f от t по 'e' на степен 1 по t. Ето това получихме тук. Трансформацията на Лаплас от 'е' на степен t, по косинус от t, става (s – 1) върху (s – 1) на квадрат, плюс 1. След това имахме това 'е' на степен минус 2 по s през цялото време. Тук е мястото, където казахме, че, ако имаме 'е' на степен минус 2 по s в трансформацията на Лаплас, то обратната трансформация на Лаплас следва да е равна на функцията на Хевисайд, умножена по отместена версия на същата функция на `е`. И затова бях много внимателен. Имахмеме тази двойка тук през цялото време, и можех да я използвам, когато реша. Обикновените константи просто са коефициенти. Функцията е равна на 2 пъти по трансформацията на Лаплас от ето тази функция и обратно. Двойките са много удобни за работа, така че през повечето време пренебрегвах това. Именно поради това бях много внимателен. Определих отново f от t като този израз, а F от s като този израз. Ако F от s е това, и ако го умножа по 'e' на степен минус 2 по s, то това, което всъщност правя, е да получа този модел ето тук. Отговорът на проблема е функцията на Хевисайд. Просто изнасям 2 отпред. 2 по функцията на Хевисайд, умножена по f от t, отместена с с. Установихме, че това беше f от t, така че просто я преместихме със с. Преместихме я с 2 и получихме крайния резултат. Дотук тази задача е толкова трудна, колкото и намиране на обратна трансформация на Лаплас. Надявам се, че урокът ти е бил интересен.