Трансформация на Лаплас като линеен оператор и трансформация на Лаплас от производни

Сега е много подходящ момент да разгледаме някои от интересните и широко приложими свойства на трансформацията на Лаплас. Първото е да покажем, че това е линейна трансформация (оператор). Какво означава това? Да кажем, че искам да изчисля трансформация на Лаплас от сбора на две функции, ще го нарека претеглен сбор на две функции. И така, имам някаква константа с1 по първата функция f(t), плюс друга константа с2 по втората функция g(t). По определението за трансформация на Лаплас това ще е равно на несобствения интеграл от 0 до безкрайност от числото е на степен минус st, по самата функция, от която търсим трансформация на Лаплас, значи по с1 по f(t) плюс с2 по g(t): виждаш накъде отива това, и накрая имаме dt. И това е равно на интеграла от 0 до безкрайност от... Нека да разкрием скобите, като умножим по е на степен минус st. На какво е равно това? Имаме с1 по е на степен минус st, по f(t), плюс с2 по е на степен минус st, по g(t), и накрая остава dt. Като приложим някои от основните свойства на интегралите, можем да разделим този израз на два интеграла, нали така? Интегралът от сбора на две функции е равен на сбора от техните интеграли. А тези са просто константи. И така, това е равно на с1 по интеграла от 0 до безкрайност от е на степен минус st, по f(t), dt, плюс с2 по интеграла от 0 до безкрайност от е на степен минус st, по g(t), dt. Това е един по-дълъг начин да изразим... какво представлява това? Това е трансформацията на Лаплас на функцията f(t). А това е трансформацията на Лаплас от g(t). Значи това е равно на с1 по трансформацията на Лаплас от f(t), плюс с2 по трансформацията на Лаплас от g(t). И така доказваме, че трансформацията на Лаплас е линеен оператор, нали така? Щом трансформацията от сбора на две функции е равна на сбора от техните трансформации, по същество, можеш да разделиш събираемите едно от друго, да изнесеш константите отпред и да изчислиш трансформации на Лаплас. Това е полезно свойство, може дори да е очевидно. А сега вече е и доказано. Сега ще направим нещо, което смятам за още по-интересно. То ще покаже защо трансформациите на Лаплас са изключително полезни за решаване на диференциални уравнения. Нека търсим трансформация на Лаплас от производната на f(t). И така, имам някаква функция f(t), намирам нейната производна и после търся трансформацията на Лаплас от нея. Има ли връзка между трансформацията на Лаплас от производната на една функция и трансформацията на Лаплас от самата функция? Ще използваме метода за интегриране по части. Първо да запиша тази трансформация. Това е равно на интеграла от 0 до безкрайност от е на степен минус st, по f прим от t, dt. За да решим това (интеграла), ще интегрираме по части. Ще запиша метода тук в ъгъла, за да си го припомняме. Мисля, че си го спомням добре от предишния урок. Ще запиша директно самия метод. От тази страна ще е интегралът от u по v прим, тъй като сега имаме производна, е равен на двете функции без производните, u по v, минус интегралът на обратното, което е u прим по v. Тук заместването е очевидно, нали? Искаме накрая да получим f(х), нали така? Ще заместим v прим с f прим, а u ще заместим с е на степен минус st. u е равно на е на степен минус st, а на колко е равно v? v ще е равно на f прим от t. (Сал греши) Тогава u прим е минус s по e на степен минус st. A v прим... объркал съм, тук трябваше да е v прим! v прим е равно на f прим от t, значи v ще е равно на f(t). Ще го поправя, вече трябва да е по-ясно какво правим. Това е u, а след него е v прим. След като това е v прим, намираме примитивна функция на двете страни и получаваме, че v е равно на f(t). Сега да интегрираме по части. Тази трансформация на Лаплас, която е равна на това, е u по v, което заместваме с е на степен минус s по t, по f(t), минус интеграла, който, разбира се, ще трябва да изчислим от 0 до безкрайност, ще запазя през цялото време несобствения интеграл, няма да го прехвърлям напред-назад към определен и неопределен интеграл. Значи минус тази част. Интеграла от 0 до безкрайност от u прим, което е минус s по е на степен минус st, по v, което е f(t), dt. Да видим сега. Имаме минус и минус, става плюс, тези двете стават плюсове. Това s е само константа, можем да я изнесем пред скоби. Това е равно на е на степен минус st, по f(t), изчислено от 0 до безкрайност, или когато клони към безкрайност, плюс s по интеграла от 0 до безкрайност от е на степен минус st, по f(t), dt. Какво забелязваме тук? Това е трансформацията на Лаплас от f(t), нали така? Това е равно на... Нека да изчислим тази част. Когато определим границата при безкрайност, е на степен минус безкрайност клони към 0. По-интересен е въпросът за f от безкрайност. Не знаем колко е f от безкрайност. Може да клони към голямо или към малко число, може да клони към някаква стойност. Този множител клони към 0, но не знаем дали това расте по-бързо, отколкото първото намалява, не знаем дали произведението е сходящо. Няма да навлизам в математическото доказателство дали изразът е сходящ или разходящ, но ще кажа много приблизително, че той ще е сходящ към 0, ако f(t) расте по-бавно, отколкото е на степен минус st намалява. Възможно е по-късно да изведем по-издържано определение на условията, при които този израз реално е сходящ. Но нека предположим, че f(t) расте по-бавно, отколкото намалява степента на е, или иначе казано, че едното е по-бавно разходящо, отколкото другото е сходящо. Или че това расте по-бавно, отколкото другото намалява. И щом това расте по-бавно, отколкото другото намалява, значи целият този израз ще клони към 0. После от него ще извадим същия израз, изчислен за t = 0. Имаме е на степен 0, което е 1, по f(0) - то остава същото, дотук е f(0). Прибавяме s по... казахме, че това е трансформацията на Лаплас от f(t), такова е нашето определение. Значи по трансформацията на Лаплас от f(t). Да видим едно интересно свойство. Какво имаше от лявата страна на цялото това равенство? Трансформацията на Лаплас от f прим от t. Нека да запиша всичко отново. Ще сменя цвета. Трансформацията на Лаплас от f прим от t е равна на s по трансформацията на Лаплас от f(t) минус f(0). Да продължим това още малко. Колко е трансформацията на Лаплас – това е много полезно да се знае – Можем да приложим същата схема, нали? Това ще стане s по трансформацията на Лаплас на примитивната функция, която е първата производна на f(t), нали така? Прилагаме този модел, тук е примитивната функция. Това съответства на това, още веднъж примитивната функция, минус f прим от 0, нали така? Тогава колко е трансформацията на Лаплас от това? Можем ли още да развием s по трансформацията на Лаплас от f прим от t? Това намерихме преди малко, нали помниш? То е s по трансформацията на Лаплас от f(t) минус f(0). Просто заместих дясната страна тук. Остава минус f прим от 0. Получихме, че трансформацията на Лаплас от втората производна е равно на s на квадрат по трансформацията на Лаплас от нашата функция f(t), минус s по f(0), минус f прим от 0. Вероятно вече виждаш ясна зависимост. Това е трансформацията на Лаплас от втората производна на f(t). Сега е малко по-ясна причината трансформацията на Лаплас да се използва толкова много. Тя превръща производните в произведения на примитивната функция (f). И, както ще видиш по-късно, свежда интегрирането до делене на s. Можеш да изчислиш производна от произволен ред, като продължиш да умножаваш по s. Виждаш, че има зависимост. Урокът ни приключва. Ще те оставя да намериш самостоятелно трансформацията на Лаплас на третата производна на f(t). Ще се видим в следващия урок.