Трансформация на Лаплас от t: L{t}

Да продължим да запълваме нашата таблица с трансформации (интегрални преобразувания) на Лаплас. За начало да запишем определението за трансформация на Лаплас. Трансформацията на Лаплас на дадена функция f(t) е равна на интеграла от 0 до безкрайност на числото 'е' на степен минус st, умножено по самата функция f(t), dt. Това е определението. Първата такава трансформация, която намерихме, беше трансформацията на Лаплас от 1. Можем да представим 1 и като t на степен 0. Това е равно на интеграла от 0 до безкрайност от 'е' на степен минус st, по f(t), което е 1, dt. Това е равно на примитивната функция на е на степен -st, която е минус 1 върху s, по 'e' на степен –st. Остава да изчислим това от 0 до безкрайност. Започваме от границата при t, клонящо към безкрайност. Имаме 'е' на отрицателна степен, която става степен минус безкрайност, ако приемем, че s е по-голямо от 0. При това положение (s>0), целият израз ще клони към 0. Получаваме 0 минус стойността на този израз за t = 0. Изчисляваме го за t = 0: ще имаме 'е' на степен 0, което е 1, по -1/s. Става 0 минус минус 1/s, което е плюс 1/s. И така, трансформацията на Лаплас от 1, което е константа функция, е равна на 1/s. Вече сме доказвали това. А сега да увеличим степента. Да намерим трансформацията на Лаплас от t. Можем да разглеждаме предното като t на степен 0. А това е t на степен 1. И е равно на интеграла от 0 до безкрайност от числото 'е' на степен –st, по t, dt. И така. Не помня колко е примитивната функция на това. Не знам колко е. Но нещо ми подсказва, че мога да приложа интегриране по части. То ще сведе задачата до по-лесна. Винаги забравям и как се прави интегриране по части, затова ще го изведа тук в лилаво. И така, ако имам u по v, производната спрямо t на това е равна на производната на първата функция по втората плюс първата функция по производната на втората. Това е правилото за диференциране на произведение. Ако интегрираме двете страни на това уравнение ще получим, че uv е равно на примитивната функция на u прим, по v, плюс примитивната функция на u по v прим. И тъй като искаме да приложим това към интеграл, нека да го приведем в удобна форма: интегралът от u по v прим е равен на... нека да го оставим само от лявата страна на уравнението, затова разменям страните и вадя другия израз, отдясно ще имам u по v, минус интеграла от u прим по v. Ето така. Макар и да не помня тази формула, не беше трудно да я изведа, като помня само правилото за диференциране на произведение. Сега ще приложим интегрирането по части, като за целта е полезно да определим нашето v прим по такъв начин, че лесно да намерим неговата примитивна функция, защото после ще ни се наложи да намерим и самото v. По-добре да е нещо, на което лесно ще намерим производната. Затова да разделим произведението на такива множители: t = u и числото 'e' на степен -st да бъде нашето v прим. В този случай колко ще е v? То е примитивната функция на този израз. Дори сме я намирали преди. Тя е минус 1/s по 'е' на степен –st. Това е v. Остана да намерим u прим, тъй като ще се наложи да го използваме по-късно. u прим е производната на t. Това е равно на 1. Сега да приложим това. Трансформацията на Лаплас от t е равна на uv. Нали така? u е равно на t, а v е този израз тук, минус 1/s по 'е' на степен -st. Това е равно на нашето произведение uv, ето тук. И тук имаме определен интеграл, нали така? Затова ще изчислим този член от 0 до безкрайност. После вадим интеграла от 0 до безкрайност от u прим, което видяхме, че е 1, по v: него също намерихме тук, ще използвам същия цвят, то е минус 1/s по 'е' на степен -st, това е моето v ето тук, 'е' на степен -st, накрая имам dt. Всичко това се интегрира спрямо t. Нека да опростим целия израз. За първия член получаваме минус t/s по е на степен минус st, изчислено от 0 до безкрайност. Да видим по-нататък... това е 1, като умножаваме по 1 произведението остава същото, можем изобщо да не записваме единицата. Изнасяме отпред минус 1/s. Заедно с този минус това става плюс 1/s. Умножено по интеграла от 0 до безкрайност на 'е' на степен -st, dt. Това вече трябва да ти е познато. Преди малко решихме точно това. Това е трансформацията на Лаплас от 1. Запомни я. И така, имаме трансформацията на Лаплас от 1. Ще го запиша така, защото в следващия урок ще видим как се получава модел за това (за t на степен). На мястото на този израз записвам трансформация на Лаплас от 1. Но на какво е равна първата част на израза? Ще изчислим границата на този израз за t клонящо към безкрайност и ще извадим стойността му за t равно на 0. Можем да го разгледаме и като заместване. Ще го запиша по този начин. Границата при А, клонящо към безкрайност, на –А/s по 'е' на степен –sA. Това е този израз, изчислен за безкрайност. От него вадим това: изразът, изчислен за 0. Значи минус всичко това, но знакът вече е минус, значи става плюс, 0/s по 'е' на степен минус s по 0. Накрая остана този израз: нека го запиша. Ще използвам син цвят. Плюс 1/s, това е този коефициент, по трансформацията на Лаплас от 1. Какво получаваме? Колко е тази граница при А, клонящо към безкрайност? Може да си представиш, че когато А клони към безкрайност, този числител става безкрайно голямо число. Пред него има знак минус, значи ще е безкрайно голямо по абсолютна стойност отрицателно число. Но тук имаме степен. А е в степенния показател. Тогава 'е' на степен минус безкрайност ще клони към 0 много по-бързо, отколкото А клони към безкрайност. Показателната функция, този член тук, надделява. Ако не ми вярваш, можеш да провериш с някой графичен калкулатор. Този член ще надделее над другия член с променлива А и ще наклони целия израз към 0. След това имаме 'е' на степен 0, което е 1, но го умножаваме по 0, и този израз също ще стане нула, което е доста удобно, защото всичко това изчезва. Трансформацията на Лаплас от t остава равна само на 1/s по трансформацията на Лаплас от 1. И вече знаем колко е тя. Още в началото на това видео показахме, че трансформацията на Лаплас от 1 е равна на 1/s при условие, че s е по-голямо от 0. Тук също е необходимо условието, че s е по-голямо от 0, за да може тази степен да клони към 0. Само при s, по-голямо от 0, тук ще се получи отрицателна степен минус безкрайност, която да клони към 0. Дотук - добре. Значи трансформацията на Лаплас от t е равна на 1/s по 1/s, което е 1 върху s на квадрат, където s е по-голямо от 0. Получихме още един ред за таблицата си и можем да го използваме занапред. В следващия урок ще направим обобщение до трансформацията на Лаплас от t на произволна степен. Ще го направим в следващото видео.