Трансформация на Лаплас от делта-функцията на Дирак

В предния урок представих може би най-странната досега функция, която можеш да видиш. Това беше делта-функцията на Дирак. Дефинирахме я, а сега ще разгледаме отместената ѝ версия. Предполагам, че вече сравнително добре я познаваш. Делта функция на Дирак от t минус с. Можем да кажем, че е равна на нула, когато t не е равно на с, т.е. равна е на нула навсякъде, освен там, където прави скок до безкрайност. Следва да внимаваме с тази безкрайност. Ще го запиша в кавички. Скача до "безкрайност". В предния урок видяхме, че можем да умножим този скок до безкрайност по различни числа, за да получим по-големи делта-функции на Дирак, когато t е равно на c. По-важното обаче – и това е един вид псевдо-дефиниция – е идеята, че когато интегрираме, получаваме площта под кривата върху цялата ос х, или би трябвало да кажем върху цялата ос t – можем да кажем, че намираме площта под тази крива. И очевидно тази функция е равна на нула навсякъде, с изключение на t равно на с. Важно е да кажем, че тази площ е равна на единица. Ето това имах предвид, когато казах псевдо-безкрайност. Ако имам два пъти по делта-функцията на Дирак, и ако търся площта под тази крива, т.е. от два пъти по делта-функцията на Дирак от (t – c), dt. Тя следва да е равна на две, умножено просто по площта на делта-функцията на Дирак, от минус безкрайност до плюс безкрайност, когато делта-функцията е отместена със с, dt. Доказахме, че площта е два пъти по-голяма, или по дефиниция, щом тази площ е единица, то тази ще бъде равна на две. Ако запиша две тук, то тази безкрайност ще бъде два пъти по-високо. Ето затова площта сега е две. Затова поставих безкрайност в скоби. И все пак е интересна функция, за която говорих в края на миналия урок. Чрез нея можем да моделираме явления, при които изведнъж се случва някакъв шок, предава се ограничено количество импулс върху нещо, кинетичната енергия се променя с някаква фиксирана стойност. Ще разберем това малко по-добре в бъдещи уроци. Нека обаче вникнем в математическите концепции напълно. Нека опитаме да намерим как се променя делта-функцията на Дирак, когато я умножим – как се променя трансформацията на Лаплас, когато я умножим по някаква функция. Нека имаме делта-функция на Дирак, която искаме да отместим. Това е малко по-интересно. Ако искаш да я върнем обратно, може просто да изберем с да е равно на нула. Какво се случва, когато с е равно на нула? Ще я отместя и ще я умножа по някаква произволна функция f от t. Ако искам да намеря трансформацията на Лаплас само от делта-функцията, можех да кажа, че f от t е равно на едно. Нека намерим трансформацията на Лаплас от този израз. Просто ще използваме определението за трансформация на Лаплас, така че това е равно на площта от нула до безкрайност, можем да го кажем, че това е интеграл от нула до безкрайност от 'е' на степен минус s по t – това е част от трансформацията на Лаплас – умножено по ето този израз. Просто ще го запиша в този ред. Умножаваме по f от t, по делта-функцията на Дирак. δ (делта) от (t – c), по dt. Сега ще изложа малко по-логично доказателство. Много от математиката, която използваме, е строга. Особено, когато искаме да бъде формална. Делта-функцията наистина започва да разкрива много неща, които не сме предполагали, че са така, но предполагам, че интуитивно все пак можем да я използваме. Ще реша този интеграл интуитивно и мисля, че ще го разбереш. Нека да го начертаем. Нека онагледим това, което се опитваме да направим. Нека начертая това, от което искаме да намерим интеграл. Интересува ни само интервалът от нула до безкрайност, така че ще го реша само от нула до безкрайност. Приемам, че с е по-голямо от нула, т.е. делта-функцията прави скок някъде в положителната част на оста t. Как ще изглежда ето тази първа част? Как ще изглежда този израз? 'е' на степен минус s по t, по f от t. Не знам. Ще бъде някаква функция 'е' на степен минус s по t. Започва в 1 и слиза надолу, но я умножаваме по някаква произволна функция, така че просто ще я начертая ето така. Може би изглежда като нещо такова. Това тук е графиката на 'е' на степен минус s по t, умножено по f от t. f от t ѝ придава донякъде тази произволна форма. Дотук добре. Нека сега направим графиката на делта-функцията на Дирак. Навсякъде е нула, като изключим в точката с. Там "скача" безкрайно високо, но ние чертаем просто една стрелка с височина единица, която показва, че площта е единица. Обикновено, когато чертаеш графики, не правиш стрелки, но тази показва, че площта под този безкрайно висок скок, е единица. Тогава ето тук означаваме едно. Умножаваме с другата функция. Тоест интересува ни площта под цялата тази крива. Умножаваме тези две функции. Умножаваме ето тази по ето тази, или тази функция по делта-функцията. Нека го запиша. Това е делта-функцията, отместена на разстояние с. На какво е равно това произведение? Това е ключовата идея тук. Ще начертая осите си. Нека проверя дали мога да ги направя малко по-прави. Не съди за мен по качеството на чертежа. Ето това е t. Какво се получава, когато умножа тези две функции? Навсякъде, където t е различно от с, делта-функцията на Дирак е нула. Това е нула, умножена по нещо. Няма значение каква е тази функция – резултатът ще бъде нула. Ще бъде нула навсякъде освен, че нещо интересно ще се случи в точка t = с. В точката t равно на с каква е стойността на функцията? Ще приеме стойността на делта-функцията на Дирак. Получава се делта-функцията на Дирак, умножена по ето тази височина, независимо колко е тя. Ето тази точка тук, съответно тази тук, има следната стойност. Има стойността на функцията, изчислена за точката с. Ще я означа ето тук на оста у, т.е. на оста f от t, или както пожелаеш да я означиш. Тази стойност ще бъде е на степен минус s по c, умножено по f от c. Просто изчислявам стойността на тази функция за с, а това ето тук е точката. Тази точка е просто някакво число. Може да бъде пет, например, и просто получаваме пет, умножено по делта-функцията на Дирак. В дадения случай не е пет. Това е общия случай, мога просто да го начертая ето така. Когато умножа тази функция по тази делта-функция, получаваме това. Височината отново е делта-функция, но мащабирана. Мащабирана е така, че новата функция ще изглежда като нещо такова. Ако просто умножа двете функции, просто получавам 'е' на степен минус s по c, по f от c. Това може би изглежда като някаква фантастична функция, но наистина е само число, когато я разгледаме спрямо t. s означава нещо, когато става дума за трансформацията на Лаплас, но от гледна точка на t то е просто една константа. Всичко това са просто константи, така че това би могло да е равно на пет. Тогава имаме константа, умножена по делта-функцията на Дирак, т.е. по делта от t минус с. Когато умножавам тази функция по тази функция, получаваме ето тази функция. Височината отново ще бъде безкрайно висока, но е безкрайно висока и мащабирана така, че площта ѝ няма да е единица. Ще ти го докажа. Какъв е интегралът от този израз? Да намерим интеграл от тези изрази, от минус безкрайност до плюс безкрайност – защото от тези двете се получава този израз – е същото като да намерим интеграл от резултантната функция, от минус безкрайност до плюс безкрайност. Нека го направим. Не е нужно да го намерим от минус безкрайност. Ще го изчислим от нула до плюс безкрайност. Ако търсим от нула до плюс безкрайност, това означава, че да намерим този интеграл (посочва интеграла горе вдясно) е еквивалентно на това да намерим този интеграл (посочва интеграла долу вдясно), значи 'е' на степен минус s по c, по f от с, умножено по делта-функцията от t минус c, dt. Нека изясня какво е моето твърдение. Твърдя, че този интеграл е еквивалентен на ето този. Навсякъде другаде делта-функцията прави това произведение равно на нула. Затова ни интересува само ето тази функция, т.е. 'e' на степен минус s по t, по f от t, когато t е равно на с. Затова успяхме да я преобразуваме в константа. След като тя е константа, може да я изнесем пред интеграла. Сега това е равно на следното – записвам наобратно, за да спестя място и все пак да ти покажа тези неща. Изнасяме константите пред интеграла и получаваме 'е' на степен минус s по c, по f от с, по интеграл от нула до безкрайност, от f от (t – с), dt. О, извинявай! Това не е f от (t – с). Нека се върна малко назад. Това не е f. Трябва да бъда по-внимателен. Това е делта. Ще го направя с различен цвят. Изнесох константите пред интеграла и се получава делта от (t – с), dt. Нека избера правилния цвят. Какъв е този интеграл по дефиниция? Равен е на единица. Независимо дали изберем границите да са от минус безкрайност до безкрайност. Единственото място, където има някаква площ, е за числото с. И така, този интеграл е равен на едно. Следователно целият този интеграл тук се свежда до ето този, защото другата част е равна просто на едно. Трансформацията на Лаплас от изместената функция, умножена по някаква друга функция, е равна на 'е' на степен минус s по c, умножено по f от c. Нека го запиша отново ето тук долу. Трансформацията на Лаплас от делта-функцията е равна на едно. Имаме трансформация на Лаплас от нашата отместена делта-функция от t минус с, умножена по някаква функция f от t, което е равно на 'е' на степен минус с – по същество просто изчисляваме интеграла 'е' на степен минус s по t, в точка с. 'е' на степен минус s по c, умножено по f от c. Наистина просто изчисляваме тези изрази в точка c. И това е резултатът. От него можем да извлечем много полезна информация. Какво всъщност представлява трансформацията на Лаплас от една стандартна делта-функция? Е, в този случай имаме с равно на нула, а f от t е равно на едно. Просто този член е константа. Ако направим това, то трансформацията на Лаплас от тази функция ще бъде равна на 'е' на степен минус нула по s, по едно, което дава просто едно. Трансформацията от делта-функцията е равна на едно, което е много приятно да научим. Ако искаме сега да открием трансформацията на Лаплас от отместената функция, тоест трансформацията на Лаплас за отместената делта-функция, то това е просто специален случай, когато f от t е равно на едно. Можем да запишем, умножено по едно, където f от t е равно на едно. Тогава тази функция е равна на 'е' на степен минус s по c, по f от c, но f е просто константа, а в случая е равно на едно. Така че умножаваме по едно и се получава само 'е' на степен минус s по c. Ето така, като използвахме един вид визуална оценка на интеграла, намерихме трансформацията на Лаплас за много различни ситуации, които съдържат делта-функцията на Дирак. Надявам се, че урокът ти е бил наистина полезен.