Основно съдържание
Курс: Диференциални уравнения > Раздел 2
Урок 2: Комплексни и повтарящи се корени на характеристично уравнение- Комплексни корени на характеристични уравнения 1
- Комплексни корени на характеристични уравнения 2
- Комплексни корени на характеристични уравнения 3
- Двойни корени на характеристични уравнения
- Двойни корени на характеристични уравнения част 2
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Комплексни корени на характеристични уравнения 2
Какво ще стане, когато характеристичното уравнение има комплексни корени? Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В предишния урок решавахме
едно уравнение от такъв тип, като в неговия първи случай
е лесно, тогава имаме два реални корена
и това е общото решение. Ако са ни дадени начални условия,
то можем да намерим и константите С1 и С2. Но тук въпросът ни е
какво се случва, когато двата корена са комплексни? Това е вторият случай
при решаването на характеристичното уравнение, което е това квадратно уравнение. Ако изразът под корен квадратен
е отрицателно число, ще получим, че корените му
са комплексни спрегнати числа. Тогава означихме двата корена
като ламбда плюс или минус мю по i. Направихме някои алгебрични
преобразувания с тези корени. Заместихме ги обратно в израза на общото решение,
за да получим всичко това. Продължихме да го опростяваме
докато получихме това, Y равно на Неперовото число Е
на степен ламбда по Х по всичко това: С1 и така нататък... Помислихме как да опростим
този израз още малко. Тук се сетихме
за формулата на Ойлер. Формулата на Ойлер винаги ме изумява,
когато я видя в действие. Тя се обяснява по-подробно
в уроците по Математически анализ. Тук можем да я използваме,
за да опростим още този израз. Чрез нея преобразувах E на степен мю по Xi
като косинус от мю Х плюс i синус мю Х. А пък Е на степен минус мю Х
стана косинус от минус мю Х плюс i по синус от минус мю Х. Сега можем да приложим
малко тригонометрия. Косинус от минус тита
е равно на косинус от тита. Също така знаем, че синус от минус тита
е равно на минус синус от тита. Да използваме тези тъждества,
за да опростим още повече нашето уравнение. Получаваме, че Y е равно на
Е на степен ламбда Х, после можем директно да разкрием скобите,
по С1 по косинус от мю Х плюс i по С1 по синус от мю Х
плюс, разкривам и вторите скоби, плюс С2 по...
тук ще използвам това тъждество, вместо косинус от минус мю Х
мога да запиша косинус от мю Х, тъй като са тъждествено равни. Плюс i по C2, а тук вместо
синус от минус мю Х ще сложа минус синус от мю Х. Мога да преместя
знака за минус отпред, става минус i по С2
по синус от мю Х. Изглежда ще можем
доста да опростим това. Можем да групираме
двата члена с косинус и тези със синус... Така ще получим едно общо решение, което изисква много издръжливост
в алгебричните сметки, но ако не губиш концентрация
ще бъде удовлетворяващо, защото вече ще знаеш
откъде идва това решение. И така, получаваме общото решение
Y равно на Е на степен ламбда Х по,
в скобите ще групирам косинусите, става С1 плюс С2 по косинус от мю Х. След това да групираме и синусите: плюс C1 i минус С2 i
по синус от мю Х. Почти сме готови
с опростяването. Остава да го приведем във вид. Знаем, че С1 и С2
са произволни константи. Значи можем да дефинираме сбора им
като друга константа. Да я запишем като С3,
за да се различава от другите. Може да ти изглежда странно,
но е логично. Това също е константа, нали така? Особено, ако не се ограничаваме
константите да са реални числа. Константата може да е
имагинерно число. Ако то е имагинерно или комплексно число, не знаем дали изразът в скобите задължително е имагинерен. Няма да правим предположения за него. Можем просто да го обозначим
като друга константа. Да я запишем като С4,
и ще се занимаваме с нея, когато имаме начални условия. Но резултатът на всичко това е,
че след опростяването получаваме доста просто
общо решение на нашето диференциално уравнение, когато характеристичното му уравнение
е с комплексни корени. Ще го откроя в друг цвят. Общото решение е
Y равно на Е на степен ламбда Х по някаква константа, означаваме я с С3, но може да е произволно число, умножена по косинус от мю Х плюс някаква друга константа,
означаваме я с С4, за да не се бърка с другите константи, умножена по синус от мю Х. Искам да разбереш две неща
от всичко това. Първото е, че тук не сме направили
нищо особено различно. В крайна сметка пак изразихме
двата корена и ги заместихме обратно в тези две
уравнения с R1 и R2. Разликата е, че направихме
алгебрични опростявания, за да се отървем от
имагинерните числа i. Това е всичко. И така, тук нямаше нищо ново
освен малко преобразувания и прилагането на
формулата на Ойлер. Тук, когато корените R1 и R2
са комплексни числа, трябваше да опростим така. По принцип, когато стигнеш
до характеристичното уравнение и двата му корена имат
такъв общ вид: мю... не, ламбда, плюс или минус мю по i, то общото решение
ще бъде това. Можеш и да го запомниш,
макар да не те съветвам, защото вече можеш да го изведеш
и самостоятелно. Това не е толкова трудно –
ако забравиш решението, винаги можеш да решиш
характеристичното уравнение, да получиш тези комплексни числа
и да ги заместиш обратно в уравнението. Ако се получат реални числа,
то вместо ламбда и мю ще имаш реални числа
и ще опростиш много по-лесно. Ще достигнеш до същото място. Но ако имаш такава задача
на изпит или тест, за да не губиш време,
можеш просто да запомниш, че ако
характеристичното уравнение е с комплексни корени ламбда плюс или минус мю i,
тогава общото решение ще бъде числото Е на степен ламбда Х
по някаква константа по косинус от мю Х плюс друга константа
по синус от мю Х Да се опитаме много набързо
да решим задача, в която се използва това. Нека е дадено диференциалното
уравнение Y секонд, плюс първата производна
плюс Y равно на 0. Характеристичното уравнение
е R на квадрат плюс R плюс 1 равно на 0. Да приложим формулата
за квадратно уравнение. Корените са минус B,
това е минус 1, плюс или минус корен квадратен
от B на квадрат, което е 1, минус 4 АС, като А и С са 1, значи минус 4. Всичко това върху 2, нали така? То е 2 по А, но А също е 1. Значи върху 2. Корените стават минус 1
плюс или минус корен от минус 3 върху 2. Можем да опростим
корените R: R е равно на минус 1/2
плюс или минус, можем да представим това като
числото i по корен квадратен от 3, i може да се премести и след корена,
върху 2. Това също е и корен от 3 върху 2,
умножено по i. Така изглежда по-пригледно, нали? Просто изнесох пред скоби
числото i. Откъде се взе то ли?
То е този минус под радикала, и така остана само
корен квадратен от 3. Това са корените
на характеристичното уравнение. За да намерим общото решение
на диференциалното уравнение, да заместим с тях
обратно тук. Така ще получим
общото решение. Да разпиша това. Общото решение ще бъде
Y равно на Е на степен реалната част
от комплексно спрегнатите, значи Е на степен минус 1/2 по Х,
нали така? На толкова е равна ламбда. Умножено по константа, нека е С1,
по косинус от имагинерната част без i-то,
значи косинус от корен от 3 върху 2, по Х плюс С2 по синус от
корен от 3 върху 2 по Х. Не е зле. В този случай имахме
комплексни корени, а го решихме също толкова бързо,
колкото и с реалните корени. Трябваше само да стигнем до това. После остава само
да използваме квадратното уравнение, за да намерим комплексните корени на характеристичното уравнение. В тях определихме,
че ламбда е тук, минус 1/2 е ламбда. А коренът от 3 върху 2
остава да е равен на мю. После заместихме ламбда и мю
в полученото преди това решение. В следващия урок ще решим
още един такъв пример, където ще са дадени
и началните условия, с помощта на които
да намерим С1 и С2. Ще се видим
в следващия урок.