If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Комплексни корени на характеристични уравнения 2

Какво ще стане, когато характеристичното уравнение има комплексни корени? Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В предишния урок решавахме едно уравнение от такъв тип, като в неговия първи случай е лесно, тогава имаме два реални корена и това е общото решение. Ако са ни дадени начални условия, то можем да намерим и константите С1 и С2. Но тук въпросът ни е какво се случва, когато двата корена са комплексни? Това е вторият случай при решаването на характеристичното уравнение, което е това квадратно уравнение. Ако изразът под корен квадратен е отрицателно число, ще получим, че корените му са комплексни спрегнати числа. Тогава означихме двата корена като ламбда плюс или минус мю по i. Направихме някои алгебрични преобразувания с тези корени. Заместихме ги обратно в израза на общото решение, за да получим всичко това. Продължихме да го опростяваме докато получихме това, Y равно на Неперовото число Е на степен ламбда по Х по всичко това: С1 и така нататък... Помислихме как да опростим този израз още малко. Тук се сетихме за формулата на Ойлер. Формулата на Ойлер винаги ме изумява, когато я видя в действие. Тя се обяснява по-подробно в уроците по Математически анализ. Тук можем да я използваме, за да опростим още този израз. Чрез нея преобразувах E на степен мю по Xi като косинус от мю Х плюс i синус мю Х. А пък Е на степен минус мю Х стана косинус от минус мю Х плюс i по синус от минус мю Х. Сега можем да приложим малко тригонометрия. Косинус от минус тита е равно на косинус от тита. Също така знаем, че синус от минус тита е равно на минус синус от тита. Да използваме тези тъждества, за да опростим още повече нашето уравнение. Получаваме, че Y е равно на Е на степен ламбда Х, после можем директно да разкрием скобите, по С1 по косинус от мю Х плюс i по С1 по синус от мю Х плюс, разкривам и вторите скоби, плюс С2 по... тук ще използвам това тъждество, вместо косинус от минус мю Х мога да запиша косинус от мю Х, тъй като са тъждествено равни. Плюс i по C2, а тук вместо синус от минус мю Х ще сложа минус синус от мю Х. Мога да преместя знака за минус отпред, става минус i по С2 по синус от мю Х. Изглежда ще можем доста да опростим това. Можем да групираме двата члена с косинус и тези със синус... Така ще получим едно общо решение, което изисква много издръжливост в алгебричните сметки, но ако не губиш концентрация ще бъде удовлетворяващо, защото вече ще знаеш откъде идва това решение. И така, получаваме общото решение Y равно на Е на степен ламбда Х по, в скобите ще групирам косинусите, става С1 плюс С2 по косинус от мю Х. След това да групираме и синусите: плюс C1 i минус С2 i по синус от мю Х. Почти сме готови с опростяването. Остава да го приведем във вид. Знаем, че С1 и С2 са произволни константи. Значи можем да дефинираме сбора им като друга константа. Да я запишем като С3, за да се различава от другите. Може да ти изглежда странно, но е логично. Това също е константа, нали така? Особено, ако не се ограничаваме константите да са реални числа. Константата може да е имагинерно число. Ако то е имагинерно или комплексно число, не знаем дали изразът в скобите задължително е имагинерен. Няма да правим предположения за него. Можем просто да го обозначим като друга константа. Да я запишем като С4, и ще се занимаваме с нея, когато имаме начални условия. Но резултатът на всичко това е, че след опростяването получаваме доста просто общо решение на нашето диференциално уравнение, когато характеристичното му уравнение е с комплексни корени. Ще го откроя в друг цвят. Общото решение е Y равно на Е на степен ламбда Х по някаква константа, означаваме я с С3, но може да е произволно число, умножена по косинус от мю Х плюс някаква друга константа, означаваме я с С4, за да не се бърка с другите константи, умножена по синус от мю Х. Искам да разбереш две неща от всичко това. Първото е, че тук не сме направили нищо особено различно. В крайна сметка пак изразихме двата корена и ги заместихме обратно в тези две уравнения с R1 и R2. Разликата е, че направихме алгебрични опростявания, за да се отървем от имагинерните числа i. Това е всичко. И така, тук нямаше нищо ново освен малко преобразувания и прилагането на формулата на Ойлер. Тук, когато корените R1 и R2 са комплексни числа, трябваше да опростим така. По принцип, когато стигнеш до характеристичното уравнение и двата му корена имат такъв общ вид: мю... не, ламбда, плюс или минус мю по i, то общото решение ще бъде това. Можеш и да го запомниш, макар да не те съветвам, защото вече можеш да го изведеш и самостоятелно. Това не е толкова трудно – ако забравиш решението, винаги можеш да решиш характеристичното уравнение, да получиш тези комплексни числа и да ги заместиш обратно в уравнението. Ако се получат реални числа, то вместо ламбда и мю ще имаш реални числа и ще опростиш много по-лесно. Ще достигнеш до същото място. Но ако имаш такава задача на изпит или тест, за да не губиш време, можеш просто да запомниш, че ако характеристичното уравнение е с комплексни корени ламбда плюс или минус мю i, тогава общото решение ще бъде числото Е на степен ламбда Х по някаква константа по косинус от мю Х плюс друга константа по синус от мю Х Да се опитаме много набързо да решим задача, в която се използва това. Нека е дадено диференциалното уравнение Y секонд, плюс първата производна плюс Y равно на 0. Характеристичното уравнение е R на квадрат плюс R плюс 1 равно на 0. Да приложим формулата за квадратно уравнение. Корените са минус B, това е минус 1, плюс или минус корен квадратен от B на квадрат, което е 1, минус 4 АС, като А и С са 1, значи минус 4. Всичко това върху 2, нали така? То е 2 по А, но А също е 1. Значи върху 2. Корените стават минус 1 плюс или минус корен от минус 3 върху 2. Можем да опростим корените R: R е равно на минус 1/2 плюс или минус, можем да представим това като числото i по корен квадратен от 3, i може да се премести и след корена, върху 2. Това също е и корен от 3 върху 2, умножено по i. Така изглежда по-пригледно, нали? Просто изнесох пред скоби числото i. Откъде се взе то ли? То е този минус под радикала, и така остана само корен квадратен от 3. Това са корените на характеристичното уравнение. За да намерим общото решение на диференциалното уравнение, да заместим с тях обратно тук. Така ще получим общото решение. Да разпиша това. Общото решение ще бъде Y равно на Е на степен реалната част от комплексно спрегнатите, значи Е на степен минус 1/2 по Х, нали така? На толкова е равна ламбда. Умножено по константа, нека е С1, по косинус от имагинерната част без i-то, значи косинус от корен от 3 върху 2, по Х плюс С2 по синус от корен от 3 върху 2 по Х. Не е зле. В този случай имахме комплексни корени, а го решихме също толкова бързо, колкото и с реалните корени. Трябваше само да стигнем до това. После остава само да използваме квадратното уравнение, за да намерим комплексните корени на характеристичното уравнение. В тях определихме, че ламбда е тук, минус 1/2 е ламбда. А коренът от 3 върху 2 остава да е равен на мю. После заместихме ламбда и мю в полученото преди това решение. В следващия урок ще решим още един такъв пример, където ще са дадени и началните условия, с помощта на които да намерим С1 и С2. Ще се видим в следващия урок.