Комплексни корени на характеристични уравнения 3

Да решим някои задачи с комплексни корени на характеристичното уравнение. Ще си припомним малко от предишния урок, и ще го оставим тук в ъгъла, за да ни е под ръка. Вече видяхме, че когато корените на характеристичното уравнение са R равно на ламбда плюс или минус мю по i, то общото решение на диференциалното уравнение е Y равно на Е на степен ламбда Х по С1, някаква константа, по косинус от мю по Х плюс С2 по синус от мю по Х. Като знаем това, да преминем към задачите. В първата ни е дадено това диференциално уравнение: ще пиша в синьо – втората производна Y секонд плюс 4Y прим плюс 5Y е равно на 0. Дадени са също и начални условия. Дадено е, че Y(0) е равно на 1, и Y прим от 0 е равно на 0. Така ще можем да намерим и конкретно решение на това диференциално уравнение. Първо да запишем характеристичното уравнение. То е: R на квадрат плюс 4R плюс 5 равно на 0. Да разпишем формулата за корени на квадратно уравнение. Корените ще са минус В, тук то е минус 4, плюс или минус корен от В квадрат, това е 16, минус 4 по АС, тук А е 1, а С е 5, всичко това върху 2 по А. А е равно на 1, значи делим на 2 по 1, имаме 2 в знаменателя. Да го опростим. Минус 4 плюс или минус... Под корена имаме 16 минус 20, нали така? Да, 4 по 1 по 5 е равно на 20. Значи, 16 минус 20, прави минус 4. Разделяме всичко на 2. Числителят е равен на минус 4 плюс или минус 2 по i, нали? Защото корен от -4 е равен на 2i. Всичко това върху 2. Като разделя на 2, получавам корените на характеристичното уравнение. Те са минус 2 плюс или минус i. Нали така, разделихме на 2. Можем ли много бързо да положим на колко е равна ламбда от общия случай? Ламбда е равна на минус 2. Нека го запиша. Ето това е ламбда, реалната част на корена. На колко е равно мю? Мю е коефициентът пред i, значи мю е равно на 1. Вече сме готови да запишем общото решение. За това диференциално уравнение то е Y равно на Е на степен ламбда Х, нашата ламбда е -2, значи на степен -2Х, умножено по С1 косинус от мю Х, а мю е 1, значи по С1 косинус от Х, плюс С2 синус от мю Х, и за мю=1 по С2 синус от Х. Дотук - добре. Сега да използваме началните усовия, за да намерим конкретно решение. Когато Х е 0, то Y е равно на 1. И така, имаме Y=1 за Х=0. Значи 1 е равно на, вляво ще заместим Х с 0, равно е на Е на степен -2 по 0, което е просто 1. Целият множител пред скобите става 1, значи можем да го игнорираме. Имаме 1 път този израз. Ще го разпиша. Е на степен 0 е 1, по С1 по косинус от 0 плюс С2 по синус от 0. Колко е синус от 0? синус от 0 е 0. Цялото това събираемо ще е равно на 0. Косинус от 0 е 1. Така получаваме стойността на С1. Получихме, че С1 е равно на 1. 1 път по С1 по 1 е равно на 1. Това е първият коефициент. С1=1. За да използваме второто условие, да сметнем производната на общото решение. Можем дори да заместим С1 с неговата стойност, защото вече я намерихме. Така ще намерим колко е С2. Засега имаме това общо решение, и като заместим С1 с намереното 1, можем да го наречем псевдо-общо: Y равно на Неперовото число Е на степен -2Х по С1, което вече знаем, че е равно на 1, значи остава само по косинус от Х плюс С2 по синус от Х. Да пресметнем производната на това, за да приложим второто начално условие. Y прайм е равно на, ще използваме правилото на умножението, колко е производната на първия израз? Тя е -2 по Е на степен -2Х. Умножаваме това по втория израз. Косинус от Х плюс С2 по синус от Х. После добавяме първия израз, плюс Е на степен -2Х, и го умножаваме по производната на втория израз. Каква е производната на косинус от Х? Тя е минус синус от Х. Добавяме производната на С2 по синус от Х, която е С2 по косинус от Х. Да видим дали ще успеем да опростим това. Най-лесно ще стане, ако преди да правим опростявания приложим второто условие. То е, че Y прайм от 0 е равно на 0. Нека го запиша. Второто начално условие е Y' (0) = 0. Значи Y' е равно на 0 при Х=0. Да заместим тук с Х=0. Можехме да опростим и малко повече, но сега няма значение. И така, когато Х е 0, степенният показател е 0, нали така? Ще стане Е на степен 0, което е 1. Пред скобите остава само -2. -2 по Е на степен 0 по косинус от 0, което е 1, плюс С2 по синус от 0. синус от 0 е 0. В скобите става 1 плюс 0. Добавяме Е на степен -2 по 0, това е просто 1, умножено по минус синус от 0, което е 0, плюс С2 по косинус от 0. Косинус от 0 е 1. Значи плюс С2. Това доста опрости нещата, нали? Да видим какво сме получили: 0 равно на, в скобите е просто 1, равно на -2 плюс С2. Получихме, че С2 е равно на 2. Ето: като добавим 2 към двете страни става 2 = С2. Вече имаме конкретно решение. При него имаме константите С2=2 и С1=1. Освобождавам малко място, за да видим общото и конретното решение. Установихме, че С1=1 и С2=2. Това е лесно за запомняне. Затова сега ще изтрия всичко това. Имам място за писане. При дадените начални условия имаме конкретното решение Y(Х) равно на, получаваме го от това общо решение, на Е на степен -2Х по С1, което е 1, можем да напишем само косинус от Х плюс С2, което знаем, че е 2, значи плюс 2 по синус от Х. Готово. Това е конкретното решение на това диференциално уравнение при тези начални условия. Интересно е, че докато търсихме тази формула, когато я извеждахме, имахме имагинерното число i, но я опростихме. преставихме като С2 комбинацията от няколко други константи, включително i, за които не знаехме дали са имагинерни или не, но ги комбинирахме в константата С2. Интересно е, че в това конкретно решение не присъства имагинерното i. Това ни казва няколко хубави неща. Показва ни, че ако бяхме оставили вместо С2 другите константи, то техните имагинерни компоненти щяха да се съкратят. Също така ни показва, че тази формула е полезна повече от формулите с имагинерни числа. Ето, погледни: не виждам числото i никъде в това диференциално уравнение. В него няма имагинерни части. Тук също няма i. Но по пътя към решението на това диференциално уравнение се наложи да използваме имагинерни числа междинно. Струва ми се, че това е първият път от всичките ни уроци досега, в който използваме имагинерни числа за нещо полезно. Тук ги използвахме като междинен инструмент, за да получим неимагинерно решение на задача само с реални числа, на неимагинерна задача. Но използвахме имагинерни числа като инструмент при решаването ѝ. Надявам се това да ти беше интересно. Ще се видим в следващия урок.