Втори ред линейни хомогенни диференциални уравнения 1

Сега ще излезем от света на диференциалните уравнения от първи ред и ще влезем в света на тези от втори ред. Какво означава това? В тях ще се намеси втора производна. Първият тип такива уравнения, който ще ти покажа, е вероятно най-използваният тип при изучаване на класическа физика. Това са линейните диференциални уравнения от втори ред. Какво е линейно диференциално уравнение от втори ред? Споменахме го още в първия въвеждащ урок. Това уравнение изглежда така. Имам А от Х, това е функция само от Х, умножена по втората производна на Y спрямо Х плюс В от Х по първата производна на Y спрямо Х плюс С от Х по Y, равно на някаква функция D, която е функция само от Х. Да преговорим термините: защо казваме, че е от втори ред? защото най-високата производна е втора производна. Това прави уравнението от втори ред. Какво показва, че то е линейно? Гледаме коефициентите пред променливата Y. Внимаваме с термина коефициенти, защото обикновено те се приемат за константи, а тук имаме функции на Х като коефициенти. За да бъде това уравнение линейно, тези коефициенти а(Х), b(Х), c(Х) и d(Х) трябва да са функции само на Х, както виждаме тук. Сега, преди да потърся общо решение на това уравнение, ще разгледам негов частен случай, в който а, b и с са константи, а d е равно на 0. Как ще изглежда това? Записвам го като А, където А вече не е функция, а обикновено число, умножено по втората производна на Y спрямо Х плюс В по първата производна плюс С по Y. За четвъртия коефициент имаме 0, значи това е равно на нула. Това уравнение представлява друг вид хомогенно диференциално уравнение. Това също се нарича хомогенно. Още не съм ти показал връзката между диференциалните уравнения от втори ред, и тези от първи ред, които представих току-що, които също се наричат хомогенни. Според мен, името хомогенно случайно е сложено и на двата вида, въпреки, че нямат особена връзка помежду си. Причината този вид да се нарича хомогенен, е, че това е равно на нула. Това го прави хомогенно. За илюстрация: представи си мляко, в което мазнината е равномерно разпределена, такова мляко се нарича хомогенизирано. При решаване на такъв тип уравнение, винаги стигаме до свободен член 0. Така те се хомогенизират, подобно на млякото. Знаем, че това уравнение е от втори ред, защото неговите коефициенти не съдържат променливата, те дори не са функции, а константи. И тъй като свободният му член, там, където няма Y, е нула, то е хомогенно линейно диференциално уравнение от втори ред. Този вид уравнения са ми любими, ще видиш, че те са най-забавни за решаване. Те са също така практически полезни: в класическата механика често е достатъчно да се реши едно такова уравнение. Решаването им е лесно и забавно, защото се свеждат до обикновена алгебра. След малко ще видим. Първо да помислим малко за това: какви може да са свойствата на тези решения. Да си представим, че функцията g(X) е решение на уравнението. Това означава, че А по втората производна на g(X) плюс В по g прим от Х плюс С по g(X) е равно на 0. Нали така? Тези са равносилни. Сега имам въпрос към теб: ако умножа g по някаква константа? Това ще бъде ли също решение? Да наречем тази константа С1. С1 по g(X) решение ли е? Да видим. Ще заместим с него в оригиналното уравнение. И така, А по втората производна на този израз, ще сменя цвета, ще мина на кафяво. А по втората производна на този израз се получава, като изнесем константата, става А по С1 по втората производна на g плюс, по същия начин действаме с първата производна, В по С1 по g прим, плюс С, по С1 по g. Сега да видим дали това е равно на нула. Можем да изнесем пред скоби константата С1. В скобите остава А по g прим прим, плюс В по g прим плюс С по g. Воала! Вече знаем това. Тъй като вече приехме, че g е решение на уравнението, то в скобите е 0. Значи и целият израз е равен на 0. Имаме 0 в скобите, тя е умножена по С1, което прави пак 0. И така целият израз е равен на 0. Можем да изразим това така: ако g е решение на това линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред, тогава произволна константа по g също ще е негово решение. И така, това също е решение на това диференциално уравнение. Искам да ти покажа още едно свойство. Накрая всичко ще се подреди. Сега ще се запитаме: като знаем, че g(Х) е решение на това уравнение, и приемем, че h(X) също е решение на диференциалното уравнение, тогава ще бъде ли решение изразът g(Х) + h(X)? Ако съберем две функции, които поотделно са решения, то техният сбор ще бъде ли също решение на нашето диференциално уравнение? За да разберем, нека заместим този израз в уравнението. Имаме А по втората производна на този сбор. Това е елементарно, получаваме g прим прим плюс h прим прим. Плюс В по производната на сбора: g прим + h прим. После плюс С по самия сбор, g+h. Какво можем да направим сега? Да разкрием скобите при константите. Получаваме А по g прим прим плюс А по h прим прим плюс В по първата производна на g плюс В по h прим плюс С по g плюс С по h. Сега можем да ги групираме: всички събираеми, в които участва g са тези трите: А по втората производна на g плюс В по първата производна на g плюс С по g. После имаме събираемите с h: А по h прим прим, плюс В по h прим плюс С по h. Дадено ни е, че и двете функции g и h са решения на първоначалното уравнение. По определение, щом g е решение на оригиналното уравнение, а този израз е лявата страна на същото уравнение, тогава този израз ще е равен на 0. Аналогично и в другите скоби имаме 0. Така показваме, че целият този израз наистина е равен на 0. Следователно, щом функциите g и h са решения на линейното хомогенно диференциално уравнение, тогава техният сбор също ще бъде решение на това уравнение. Така показахме, че ако имаме две решения g и h, то можем да ги съберем. Преди това показахме, че можем и да ги умножим по произволна константа. Това означава, че такъв израз: константа по g(Х) плюс константа по h(X) също е решение. Някоя от тези константи може да бъде и 0. Произволни са. Това са полезни свойства и с тяхна помощ можеш да разбереш по-добре линейните хомогенни диференциални уравнения от втори ред. В следващия урок ще приложим тези свойства, за да потърсим решения на такива уравнения. Ще видиш колко лесно става това. Според мен дори е по-лесно, отколкото преди с хомогенните диференциални уравнения от първи ред или с oбикновените диференциални уравнения. Тук ще е много по-лесно. Ще се видим в следващия урок.