Втори ред линейни хомогенни диференциални уравнения 2

В предишния урок говорихме за линейните хомогенни диференциални уравнения от втори ред и показахме, че ако функцията g е решение на такова уравнение, то и g, умножено по константа, също е решение. Също, ако функциите g и h са решения на уравнението, то и техният сбор g+h е негово решение. Сега е време да решим някои реални задачи, защото това ще ти помогне да се научиш, вместо само да те обърква. Дадено ни е това диференциално уравнение: втората производна на Y спрямо Х плюс 5 пъти по първата производна на Y спрямо Х плюс 6 по Y равно на 0. Трябва да намерим такова Y, че 1 път неговата втора производна плюс 5 пъти по първата му производна плюс 6 пъти по самото него да е равно на 0. Сега да погледнем по-общо, за да помислим какъв тип функция може да е Y? Ако имам различни функции и изчисля техните производни, после и втората им производна, ще получа съвсем различни неща. Например, ако Y е Х на квадрат, тогава Y прим ще е 2Х, а Y прим прим ще е равно на 2. Когато ги събера, ще искам събираемите с Х в тях да се унищожат, за да получа 0. Значи трябва да се върнем и да помислим каква ще е тази функция, за която първата и втората производна, а защо не и трета или четвърта, тя ще остане същата функция? Може константата пред нея да се промени, когато сметна производната; това е добре. И в предишни уроци я споменавам като най-удивителната функция, която знам от математиката. Тази функция е Неперовото число Е на степен Х. Възможно е в този конкретен пример Е на степен Х да не свърши работа, но защо не опиташ? Ако вече пробва с E на степен Х, видя, че тя не е корен на това уравнение, нали? Ще получиш E на степен Х плюс 5 по E^X + 6 по E^X. Това не е равно на 0. Ами ако нашето решение Y е числото Е на степен някаква константа R по Х? Да предположим, че е така. Заместваме Е на степен R по Х в уравнението. После можем да потърсим такова R, което да удовлетвори уравнението. Ако успеем, то ще намерим нашето решение или дори няколко решения. Да опитаме така. Да заместим Y с Е на степен RX в диференциалното уравнение. Първо да видим каква е първата производна. Y прим е равно на колко? Верижно правило за намиране на производните. Производната на вътрешната функция RX е равна на R. Производната на външната функция си остава E на степен RX. Каква е втората производна? Y прим прим е равно на... R остава като константа, по производната на вътрешната функция, тя е R, с константата става R на квадрат, по производната на външната функция, Е на степен RX. Вече можем да извършим заместването. Ще използвам друг цвят. Втората производна намерихме, че е R на квадрат по Е на степен RX. Събираме я с 5 по първата производна, това е 5 по R по Е на степен RX, плюс 6 по нашата функция: 6 по Е на степен RX. Равно на 0. Вече сигурно забелязваш как да намерим от това уравнение R. Всички събираеми отляво имат общ множител Е на степен RX. Извеждаме това пред скоби. Получава се Е на степен RX по R квадрат плюс 5R плюс 6 равно на 0. Не забравяй каква беше целта ни: да намерим такива R, за които равенството да е вярно. Какво знаем за лявата страна, за да бъде равна на 0? Може ли Е на степен RX да е равно на 0? Възможно ли е да повдигнеш на степен ненулево число и да получиш 0? На практика не. Този множител няма как да е равен на нула. За да бъде лявата страна на уравнението равна на 0, остава изразът в скобите да е равен на 0. Ще го запиша в друг цвят. Знаем, че ако искаме да намерим R, то R на квадрат плюс 5R плюс 6 трябва да е равно на 0. Това се нарича характеристично уравнение. Така намерихме характеристичното уравнение R квадрат + 5 R + 6 = 0. Вече виждаш, че ще използваме обикновена алгебра. Това е квадратно уравнение. Това дори е лесно да се раздели на множители. Как ще стане? Разлагаме го до (R + 2) по (R + 3) равно на 0. Решенията на характеристичното уравнение, от които ще получим и решения на оригиналното уравнение, са R равно на минус 2 и R равно на минус 3. Ето, вече имаме две решения, защото намерихме две стойности на R, които ще изпълнят диференциалното уравнение. А какви са самите решения? Първото е Y равно на Е на степен –2 по Х, нали така? Можем да го наречем Y1. Второто решение, Y2, е равно на Е на степен, колко е това R? На степен -3 по Х. Сега ще те попитам: това ли е най-общото решение? От предишния урок разбрахме, че като умножим едно решение по константа, пак получаваме решение. И така, щом Y1 e решение, то можем да го умножим по произволна константа. Да го направим. Умножаваме го по С1. Това е константата С1. Това също е решение на уравнението. А сега да потърсим още по-общо? Това е цял клас от нови функции. Константата не е задължително да е 1, може да е всяка константа. За всяка начална стойност можеш да определиш каква ще е тази константа. По същия начин и за корена Y2. Той не е задължително да е 1 път по Е на степен -3Х, може да е всяка константа по това. В предишния урок научихме това, че когато имаме решение на диференциалното уравнение, то константа по него пак е решение. Научихме също, че ако имаме две различни решения, когато ги съберем, ще получим отново решение. И така, по-общото решение на това диференциално уравнение е Y, или по-точно функцията Y(Х), за да наблегнем, че то е функция от Х, Y(Х) равно на С1 по Е на степен минус 2Х плюс С2 по Е на степен минус 3Х. Това вече е общото решение на това диференциално уравнение. Няма да го доказвам, защото е доста сложно. Нали вече заместихме с Е на степен RX и видяхме, че става. Би могло да има и друга шантава функция, която също да върши работа тук. Но сега ти казвам, и можеш да приемеш на доверие, че това е единственото общо решение. Че няма някаква друга неизвестна функция, която също да става. Другият въпрос, който може би ти изниква, е че имахме само една константа, когато разглеждахме диференциални уравнения от първи ред. Това беше добре там, защото имахме един набор от първоначални условия и от тях намираме константите. Но тук имаме две константи. След като искам конкретно решение, как мога да намеря две неизвестни, когато имам дадено само едно начално условие? Ако така разсъждаваш и ти, то интуицията ти е вярна. Наистина са нужни две начални условия, за да се реши това диференциално уравнение. За всяка стойност на Х трябва да знаем колко ще е Y. Вероятно и каква ще бъде първата производна за всяко Х. С това ще се занимаваме в следващия урок. Ще се видим скоро.