If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:5:59

Видео транскрипция

В предишните уроци имахме това линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред и пробвахме дали y=e на степен RX е негово решение. Разбрахме, че то върши работа за определени стойности на R. В последния урок разбрахме, че тези стойности са R=-2 и R=-3. Те се получиха, след като разложихме това характеристично уравнение. Ако не помниш как изведохме характеристичното уравнение, изгледай пак предишния урок. Накрая получихме това общо решение на диференциалното уравнение. Ако не ми вярваш, че то работи, можеш да заместиш и да видиш. Ами ако не ни интересува общо решение, ами искаме да намерим конкретно решение? За това ще са ни нужни начални условия. Нека да решим това уравнение, като поставим някои начални условия. Имаме общото решение, което намерихме в предишния урок. Ще разпиша отново самото диференциално уравнение. То беше: втората производна плюс 5 пъти по първата производна плюс 6 пъти по функцията е равно на 0. Дадени са ни началните условия, че Y(0) е равно на 2, а първата производна при нулата, или Y прим от 0, е равно на 3. Казват ни стойността на Y при нулата и ъгловия коефициент на тази функция в точката Х=0, този ъглов коефициент е 3. Как да използваме тези условия, за да намерим С1 и С2? Да приложим първото начално условие, че Y(0) = 2, което можем да изразим и чрез общото решение, като заместим в него Х с 0. Получаваме С1 по Е на степен -2 по 0, това е числото Е на степен 0, което прави 1; значи, С1 по 1, това е само С1, плюс С2 по Е на степен -3 по 0, което пак прави 1, значи плюс С2. След заместването с първото начално условие получихме първото уравнение: С1 + С2 = 2. Сега да приложим второто начално условие, което ни казва, че ъгловия коефициент при Х=0 е 3, това е Y прим при нулата. За да го приложим върху общото решение, първо да изчислим производната на това решение. На колко е равно Y прим от Х? Производната на това е равна на –2 по С1 по Е на степен –2Х, а колко е производната на другото събираемо? Тя е –3 по С2 по Е на степен –3Х. Вече можем да използваме началното условие, че Y'(0) = 3. Когато Х е равно на 0, на колко ще е равна дясната страна на последното уравнение? Тя е –2 по С1, умножено по Е на степен –2 по 0, което е Е на нулева, или 1; минус 3 по С2 и отново Х е 0, значи по Е на нулева степен, или по 1. Значи остана само 1 път минус 3 по С2. Знаем ли на колко е равна тази производна, когато Х е равно на 0? Тя е равна на 3, нали така? Това е началното условие Y'(0) = 3. Сега ще използваме малко алгебра. Имаме две линейни уравнения с две неизвестни. Можем да ги решим. Ще ги запиша в по-познат вид. Първото уравнение е С1 + С2 = 2. Второто е минус 2 по С1 минус 3 по С2 равно на 3. Какво можем да направим? Да умножим горното уравнение по 2. Има много начини да решим тази система, но да го направим така. Умножавам горното уравнение по 2 от двете страни и получавам 2 по С1 плюс 2 по С2 равно на 4. Сега можем да съберем двете уравнения. Минус 2 по С1 плюс 2 по С1 се унищожават, остава –3 + 2, това е минус С2, равно на 7. С2 е равно на –7. Сега можем да заместим полученото С2 обратно в уравнението. С1 + С2 ще стане С1 – 7, е равно на... 9... тук се обърках... Така е, като избързвам... И така, С1 + С2, което е С1 - 7, е равно на 2... нали така? Просто заместих в това уравнение с полученото С2 = –7. Така получаваме и другото неизвестно, С1 = 9. Вече сме близо до търсеното конкретно решение на диференциалното уравнение. Това беше нашето общо решение. В него ще заместим с намерените С1 и С2. Така ще получим конкретното решение за тези начални условия. Tо заслужава да го отделя с различен цвят. И така: конкретното решение е Y(X) равно на С1, което намерихме, че е 9, по Е на степен -2Х плюс С2, което е -7, по Е на степен -3Х. Това е конкретното решение на даденото диференциално уравнение за тези начални условия. Може да е добро упражнение за теб да го провериш: виж дали тази функция е решение на това диференциално уравнение. Ще направим още един пример в следващия урок. До скоро.