If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:9:10

Видео транскрипция

Да решим още едно линейно хомогенно ДУ от втори ред. Първо ще напиша това диференциално уравнение. То е 4 пъти по втората производна на Y спрямо Х минус 8 пъти първата производна плюс 3 по функцията Y равно на 0. Дадени са и началните условия Y(0) равно на 2 и Y прим от 0 равно на 1/2. Сега мога да подходя по същия начин, като с предишния пример: да взема решението Y равно на Е на степен RX, да го заместя, да изнеса пред скоби E на степен RX и да намеря характеристичното уравнение. За да видиш как става всичко това отново, може да изгледаш пак предишния урок, за да разбереш как се получава характеристичното уравнение. Но в това видео ще демонстрирам колко бързо се решават тези задачи чисто механично, след като вече ме ги научили. И така, това е даденото ни диференциално уравнение. Неговото характеристично уравнение ще се получи 4 по R на квадрат минус 8 R плюс 3 R равно на 0. Ако не знаеш как да получиш това характеристично уравнение, гледай предишния урок. Но ако искаш да решаваш такива задачи наистина бързо, просто замести всички втори производни с R на квадрат, първите производни с R и самата функция с 1... тук си открих грешка, последното събираемо трябва да е константа, накрая остава само коефициентът пред функцията от даденото уравнение. Махам последното R. Втората производна е заместена с R на квадрат, първата производна – с R, а където няма производна идва R на степен 0, което е 1. Това е характеристичното уравнение. Вече мога да потърся неговите корени. Това не е лесно за разлагане на множители, затова ще го реша като квадратно уравнение. Коренът му ще е R равно на минус B, тук B е равно на минус 8, значи минус минус 8, което е плюс 8, плюс или минус корен квадратен от B на квадрат, което е 64, минус 4 по А, като тук А е 4, по С, което тук е 3. Всичко това върху 2 по А, значи върху 2 по 4, или върху 8. Това е равно на 8 плюс или минус корен квадратен от 64 минус, това е 16 по 3, значи минус 48. Всичко това върху 8. Колко е 64 минус 48? Това е 16, нали така? Да. Ето: 10 плюс 48 е 58, и още 6 става 64. Имаме R равно на 8 плюс или минус корен от 16 върху 8, което е 8 +/- 4 върху 8. Това е равно на 1 плюс или минус 1/2. И така, двете решения на характеристичното уравнение, което виждаме тук, само ще изтрия зачертаното, за да не те обърква, са R равно на 1 + 1/2, което е 3/2 и R равно на 1 - 1/2, което е 1/2. Вече знаем двете стойности на R. От опита си в предишния урок знаем, че Y равно на С по Е на степен RX е решение на уравнението. Значи общото решение на това диференциално уравнение е Y равно на С1 по Е на степен, тук ще ползваме първия корен R, по Е на степен 3/2 Х плюс С2 по Е на степен 1/2 Х. Тази задача с диференциално уравнение се сведе просто до решаване на квадратно уравнение. След като намерихме неговите корени, намерихме и общото решение. Сега остава да приложим и началните условия. За целта ни трябват Y от Х и неговата производна, Y прим от Х. Да направим това сега. Колко е Y прим? Производната на нашето общо решение е 3/2 пъти по С1 по Е на степен 3/2Х, производната на вътрешната функция, плюс 1/2 по С2 по Е на степен 1/2 Х. Сега да използваме дадените начални условия. Ще ги запиша отново тук, за да ми е по-удобно. Дадено е, че Y от 0 е равно на 2 и Y прим от 0 е равно на 1/2. Това са нашите начални условия. Сега да използваме тази информация. Какво ще стане, когато заместим Х с 0 в общото решение за Y? Получава се С1 по Е на степен 0, което е по 1, плюс С2, умножено отново по Е на степен 0, защото Х е 0. На колко е равно това? То е Y(0). Когато Х е 0, имаме Y равно на 2. Сега да приложим и второто условие. Като заместим в производната на Y с Х=0, получаваме 3/2 по С1 по Е на степен, която отново е равна на 0, значи по 1, плюс 1/2 по С2 и пак по 1, защото 1/2 по 0 прави 0 в степента. Значи това е производната на Y, когато Х е 0. По условие тя е равна на 1/2, дадена ни е производната в точката Х=0 или ъгловият коефициент на функцията Y в точката Х=0 като 1/2. Вече получихме две уравнения с две неизвестни и можем да решим тази система. Можеш да се справиш и самостоятелно. Да умножим горното уравнение по 3/2, какво ше получим? Става 3/2 по С1 плюс 3/2 по С2 равно на 3/2 по 2, колко е това? Това е равно на 3. Сега да извадим едното уравнение от другото. Първият член се унищожава, а колко е 1/2 минус 3/2? Това е 1/2 минус 1 и 1/2. Значи е минус 1, нали? Значи остава минус С2, равно на 1/2 минус 3. Колко е това? Това е минус 2 и 1/2, или минус 5/2. Получихме, че С2 е равно на 5/2. Можем да го заместим в първото уравнение. С1 плюс 5/2 е равно на 2, значи С1 е равно на 2 - 5/2, което е 4/2 - 5/2, равно на минус 1/2. Сега можем да заместим С1 и С2 обратно в общото решение, за да намерим конретното решение на това диференциално уравнение при дадените начални условия. То е С1, което е -1/2, по Е на степен 3/2Х плюс С2, което е 5/2, по е на степен 1/2Х. Готови сме! Не беше толкова трудно, нали? Решихме диференциално уравнение. В решението ни присъства Неперовото число Е. Изчислявахме производни и какви ли не неща. Но същината на цялата задача се сведе до решаването на обикновено квадратно уравнение, което тук е нашето характеристичното уравнение, може да изгледаш пак предишния урок за него. Видя, че характеристичното уравнение се намери доста лесно, нали? Очевидно, заместихме втората производна Y секонд с R на квадрат, първата производна Y прим с R, а функцията Y просто с единица. Получихме квадратно уравнение. След като го решихме, намерихме общото решение на диферениалното уравнение и остана да намерим производната на това общо решение, за да използваме началните условия. С тях получихме система линейни уравнения. Решихме я, за да намерим двете константи С1 и С2. Така получихме конкретното решение. Това беше цялата задача. Ще се видим в следващия урок.