If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:10:11

Видео транскрипция

Вече сме готови да решаваме нехомогенни линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. Какво означава всичко това? Значи, че уравнението има такъв вид: А по втората производна, плюс В по първата производна плюс С по самата функция е равно на друга функция g(x). След малко ще ти дам конкретен пример, но първо да ти покажа нещо интересно. То е, че общото решение на това нехомогенно уравнение е всъщност общото решение на хомогенно уравнение плюс конкретно решение. Сега ще ти обясня какво означава това. Да речем, че функцията h е решение на хомогенното уравнение. Това се получава добре – записвам следното: h е решение на хомогенното уравнение. Би било добре да може да се запише по-кратко. Какво означава това? Това означава, че А по втората производна на h, плюс В по h прим, плюс С по h е равно на 0. Това имам предвид, като казвам, че h е решение. Даже ще кажа, че h е общото решение на това хомогенно уравнение. Вече знаем как се решава то. Решаваме характеристичното уравнение и според броя на неговите корени и дали те са реални или комплексни стигаме до общото решение. Ако имаме начални условия, можем да заместим и да получим стойностите на константите. Дотук – добре. Ако кажем, че g е решение, обаче аз вече използвах буквата g. Да вземем друга функция, която е негово решение. Искам да я обознача с буква. Да речем j. Да кажем, че j е конкретно решение на това диференциално уравнение. Какво означава това? Значи, че А по j секонд, плюс В по j прим, плюс С по j, е равно на g(x). Нали така? Просто определяме, че j(x) е конкретно решение. Сега искам да ти покажа, че j(x) плюс h(x) също ще бъде решение на първоначалното уравнение. И че това е общото решение на това нехомогенно уравнение. Преди да го направя математически, да помислим каква е логиката зад това? Като заместиш тук с h, получаваш 0. Като заместиш тук с j, получаваш g(x). Като събереш двете се получава 0 плюс g(x). И така, получаваме g(x). Сега ще ти покажа. Нека да заместим тук с h + j. Ще използвам друг цвят. А по втората производна на сбора от тези две функции се получава сборът от вторите производни на всяка функция, плюс В по първата производна на сбора, плюс С по сбора на функциите. Целта ми е да покажа, че това е равно на g(x). Как да преобразувам израза? Ще групирам всички членове с h. Получава се A по h секонд, плюс В по h прим, плюс С по h, и добавяме нещата с j, А по j секонд, плюс В по j прим, плюс С по j. Като използваме определението ни за h и j, на колко е равно това? Казахме, че h е решение на хомогенното уравнение, значи този израз е равен на 0. Всичко дотук е 0. А според определението за j на колко е равен другият израз? Казахме, че j е конкретно решение на нехомогенното уравнение, следователно този израз е равен на g(x). И така, като заместим в това диференциално уравнение с h + j отляво на знака за равенство, отдясно наистина се получава g(x). Току-що показахме, че като определим h и j по такъв начин, то функцията, да я наречен k(x), е равна на h(x) + j(x). Свършва ми мястото. Това е общото решение. Не съм доказал, че то е възможно най-общо решение, но разбираш идеята, нали? Тъй като взехме общото решение на хомогенното уравнение, което беше възможно най-общо, и към него прибавихме едно конкретно решение, с което да получим g(x) отдясно. Това може да ти се стори объркващо, затова опитай да го решиш с конкретни числа. Мисля, че така ще стане по-ясно. Да речем, че имаме дадени диференциални уравнения; сега ще ти покажа начин да намериш онова j от последния пример. И така, как да намерим конкретното решение? Нека е дадено диференциалното уравнение втората производна на y минус 3 по първата производна на y минус 4 по y, равно на 3 по e на степен 2x. Първата стъпка е да намерим общото решение на хомогенното уравнение. При предишния пример това беше h(x). Сега търсим решението на y секонд минус (3 по y прим), минус 4 по y, равно на 0. Взимаме характеристичното уравнение. Това е то, равно на 0. Разлага се до (r – 4) по (r + 1) равно на 0. Имаме 2 корена, r може да е 4 или -1. И така, общото решение, ще го нарека h... това е общото у, означавам го като у с долен индекс g. И така, общото решение е равно на – правили сме го много пъти, на С1 по е на степен 4х плюс С2 по е на степен -1 по х, или на степен -х. Дотук – добре. Да обобщя, решихме характеристичното уравнение. Сега как да получим онова j(x) от предишния пример, което е конкретно решение, за да получим това отдясно? Трябва да помислим малко. Този метод се нарича метод на неопределените коефициенти. Искаме някаква функция, чиято втора производна, плюс или минус някакво кратно на първата ѝ производна и някакво кратно на функцията да даде е на степен 2х. Тази функция и нейните първа и втора производни трябва да са от вида нещо по е на степен 2х. По същество ще направим предположение. Питаме се как ще изглежда, когато намерим различните производни и самата функция и съберем техни кратни? Ето това. Ще получим функцията е на степен 2х или някакво нейно кратно. Тази търсена функция, която отговаря на j от предния пример, е конкретно решение. Ще го обознача с У с долен индекс р. Ще го използвам по различен начин от онзи с началните условия. Тук можем да разглеждаме това като конкретно решение: такова, каквото ни дава търсената дясна страна. Мога да избера такова: някаква константа А по е на степен 2х. При това предположение производната му е 2 по А по е на степен 2х. А втората производна на това мое конкретно решение е 4 А по е на степен 2х. Вече мога да заместя в уравнението и да опитам да намеря А, за да получа конкретното решение. И така, това е втората производна. Получавам 4 А по е на степен 2х минус 3 по първата производна, значи минус 3 по този израз. Това е минус 6 по А, по е на степен 2х, после имам минус 4 по самата функция: минус 4 по А, по е на степен 2х. Всичко това равно на 3 по е на степен 2х. Известно ни е, че е на степен 2х не може да е равно на 0, затова делим на него. Просто го изнасям пред скоби. Така премахвам всички степени на е. Отляво имам 4А и минус 4А. Тези се унищожават. Еврика! Получихме, че –6 по А е равно на 3. Разделяме двете страни на –6 и намираме А, то е равно на –1/2. Ето така получаваме и конкретното решение. То е това: равно на –1/2 по е на степен 2х. И както ти показах преди да изчистя екрана, общото решение на това нехомогенно уравнение е конкретното решение, което намерихме току-що, плюс общото решение на хомогенното уравнение. Можем ли да твърдим, че това е възможно най-общото решение? Не знам. И така, ще го нарека просто Y. То е равно на общото ни решение, С1 по е на степен 4х, плюс С2 по е на степен –х, плюс намереното конкретно решение. То е –1/2 по е на степен 2х. Изглежда добре. По-натам ще решим още няколко такива примера. Така ще ти стане още по-ясно. В следващия пример ще използваме нещо различно от тези степени на е. Ще опитаме също и с полиноми и тригонометрични функции. Ще се видим в следващия урок.