Метод на неопределените коефициенти (част 3)

Да решим още един пример с нехомогенно линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Лявата страна ще е идентична на решаваните досега. Втората производна на у минус 3 по първата производна минус 4 по у, равно на... но вече вместо показателна или тригонометрична функция ще имаме просто едно х на квадрат, което е полином. Вече знаеш как се намира общото решение на хомогенното уравнение, ако тук имаше 0. Затова ще се съсредоточим само на частното решение на нехомогенното уравнение, което ще прибавим към общото решение на хомогенното уравнение, за да получим общото решение на нехомогенното уравнение. Кое е добра догадка за конкретно решение тук? Когато имахме степени, предположихме, че решението също ще съдържа степени. Аналогично, при тригонометричната функция заподозряхме то да е тригонометрично. Затова този полином, който прави уравнението нехомогенно, предполага нашето частно решение да е полином. В това има логика. Ако вземем полином от втора степен и прибавим или извадим кратни на неговите производни, се надяваме да получим също полином от втора степен. Приемаме, че частното решение е: А по х на квадрат, плюс В по х, плюс С. Каква ще е неговата първа производна? Изчисляваме я: 2А по х плюс В. Това беше първата производна. Втората производна е 2А. Вече можем да го заместим обратно в първоначалното уравнение. Става: втората производна, 2А, минус 3 по първата производна, което 3 пъти по този израз, става минус 6А по х, минус 3В, после минус 4 пъти самата функция, минус 4А по х на квадрат, минус 4В по х, минус 4С. Това е лявата страна. Това е равно на 4 по х на квадрат. Сега ще групирам по степени на х, за да опитаме да намерим коецифиентите А, В и С. Да видим. Тук имам един член, който съдържа х на квадрат. Той е минус 4А по х на квадрат. А кои са членовете с х на първа степен? Имаме -6А по х и -4В по х. Става плюс (–6А – 4В) по х. Просто събрах коефициентите пред скоби. Накрая остават константите: 2А минус 3В минус 4С. Значи плюс 2А минус 3В минус 4С. Всичко това е равно на 4 по х на квадрат. Как да намерим А, В и С? Коефициентът пред х на квадрат от лявата страна трябва да е равен на 4. Сборът от коефициентите пред х трябва да е равен на 0, нали така? тъй като отдясно имаме 0 по Х. Можем да добавим и константа 0 отдясно, затова сборът на константите също трябва да е 0. Нека разпиша това. Първо е членът с х на квадрат. Видяхме, че минус 4А трябва да е равно на 4. Това означава, че А е равно на минус 1. Дотук е добре. Сега да видим жълтите членове с х. Минус 6А минус 4В трябва да е равно на 0. Нали така? Да го запишем. Вече намерихме А, нека да го заместим. И така, –6А е –6 по –1. Това прави 6, минус 4В, равно на 0. Оставям 4В от едната страна, за да получа 4В = 6. Значи В е равно на 6/4, което е 3/2. И накрая остават свободните членове, да видим тяхното уравнение. 2 по А е равно на –2, минус 3 по В, заместваме с полученото В=3/2 и става минус 9/2, минус 4С е равно на 0. Да проверя, за да не направя грешка. Тук имаме минус 4, минус 9/2, нали така? Това прави минус 4/2 минус 9/2, и можем да преместим 4С отдясно, това е равно на 4С. Колко е минус 4 минус 9? Това е минус 13, отдолу остава делено на 2. И така, –13/2 е равно на 4С. Разделяме двете страни на 4 и получаваме С = –13/8. Мисля, че всичко е наред. Ако не съм направил неволна грешка, тогава знаем частното решение. Нека го запиша. Ето. Тук горе имам достатъчно място да запиша решението. Нашето решение е равно на частното решение, което е А по х на квадрат, значи –1 по х на квадрат, плюс В по х, което е плюс 3/2 по х, плюс С, което е минус 13/8. Това беше частното решение, след като намерихме коефициентите А, В и С. Открихме неговите неопределени коефициенти. И сега остава да добавим общото решение на хомогенното уравнение. Какво беше то? у секонд минус 3 у прим, минус 4 у, равно на 0. Вече сме го решавали много пъти. Общото решение на хомогенното уравнение също ни е известно, то е С1 по е на степен 4х плюс С2 по е на степен –х. Получихме го от характеристичното уравнение R на квадрат минус 3R минус 4 равно на нула. Какво се получи? (R – 4) по (R +1), и така получихме корените му, минус 1 и 4. И така. Това е общото решение на хомогенното уравнение, а зеленото е частното решение на нехомогенното уравнение. Тогава общото решение на нехомогенното уравнение е сборът на тези две решения. Нека ги съберем. Добавяме плюс С1 по е на степен 4х плюс С2 по е на степен –х. И готово. Това не беше много трудно. Най-трудната част беше да внимаваме да не допуснем грешка при сметките. И така, с една елементарна и по същество алгебрична техника успяхме да намерим доста сложно решение на това нехомогенно линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Ще се видим в следващото видео.