Доказателство: наклоните на перпендикулярните прави са с противоположен знак и са реципрочни помежду си

В това видео искам да използвам някои геометрични аргументи, за да докажем, че наклоните (ъгловите коефициенти) на перпендикулярни прави са отрицателно реципрочни един на друг. За да започнем, имаме правите L и М и ще приемем, че са перпендикулярни. Те се пресичат под прав ъгъл. Виждаме това изобразено тук. Ще построя някои други прави, за да ни помогнат да направим геометричното си доказателство. Нека начертая хоризонтална права, която пресича в тази точка тук. Нека наречем тази точка А. Да видим дали мога да направя това. Ето. Това е хоризонтална права, която минава през точка А. Сега ще направя няколко вертикални. Тук ще пусна една вертикална права. Тук ще пусна една вертикална права. Това е 90 градуса и това е 90 градуса. Построих ги така. Горната права е перпендикулярна хоризонтална. После пуснах вертикалните прави. Това са 90 градусови ъгли. Нека сега поставя няколко точки. Това вече казах, че е точка А. Нека наречем тази точка В. Нека наречем тази точка С. Нека наречем тази точка D. Нека наречем тази точка тук Е. Нека помислим какъв е наклонът (ъгловият коефициент) на правата L. На колко ще е равен наклонът на L. Правата L е правата, която свързва точки С и А, така че това е наклонът на СА. Това е същото нещо като наклонът (ъгловият коефициент) на правата СА. L е правата СА. За да намерим наклонът, това е промяната в Y върху промяната в Х. Промяната в Y ще е СВ. Това ще е дължината на отсечката СВ. Това е нашата промяна в Y. Това е СВ върху промяната в Х, което е дължината на отсечката ВА, което е дължината на ВА. Това е ВА. Какъв е наклонът на правата М? Наклонът (ъгловият коефициент) на М. Можем да наречем правата М права АЕ. Права АЕ. Ако преминем между точка А и точка Е, това е просто промяната в Y върху промяната в Х. Каква ще е промяната ни в Y. Промяната в Y. Преминаваме от това ниво надолу до това ниво, докато преминаваме от А към Е. Можехме да го направим и тук. Преминаваме от А до Е. Това е промяната ни в Y. Може да ни се иска да кажем, че това ще е дължината на отсечката DE. Но помни, Y е низходящо. Ще извадим тази дължина, докато преминаваме от това Y ниво до това Y ниво тук. Каква е промяната ни в Х? Промяната в Х, докато преминаваме от А до Е, промяната в Х ще е дължината на отсечката AD. AD. Наклонът на М ще е –DE. Това ще е отрицателната стойност на тази дължина, понеже слизаме с толкова надолу. Това е промяната ни в Y върху отсечката AD. Може вече да те изпълва вдъхновение от това, което написахме, понеже сега просто трябва да установим, че тези два триъгълника – триъгълник СВА и триъгълник ADE – са подобни, а после ще можем да покажем, че това са отрицателните реципрочни един на друг. Нека покажем, че тези два триъгълника са подобни. Да кажем, че имаме този ъгъл тук. Нека кажем, просто ей така, че този ъгъл има мярка Х. Да кажем, че имаме – нека използвам друг цвят – да кажем, че имаме този ъгъл ето тук... Да кажем, че мярката му е мярката Y. Знаем, че X + Y + 90 е равно на 180, понеже те са допълващи се ъгли. Мога да запиша, че Х + 90 + Y ще е равно на 180 градуса. Ако искаш, можеш да извадиш 90 от двете страни и да кажеш, че Х + Y ще е равно на 90 градуса. Това са алгебрично еквивалентни твърдения. Това е равно на 90 градуса. Как можем да използваме това, за да намерим някои от тези други ъгли в тези триъгълници. Да видим, Х плюс този ъгъл тук долу трябва да е равно на 90 градуса. Или можеш да кажеш: Х плюс 90 плюс колко ще е равно на 180?" Сега гледам триъгълник СВА. Вътрешните ъгли на един триъгълник дават сбор от 180. Х плюс 90 плюс колко е равно на 180? Х плюс 90 плюс Y е равно на 180. Вече установихме това. Подобна е ситуацията и тук. Y плюс 90 плюс колко ще е равно на 180? Същият аргумент. Вече знаем. Y плюс 90 плюс Х е равно на 180. Y плюс 90 плюс Х е равно на 180. Забележи, че установихме че триъгълник АВС и триъгълник EDA, всичките им вътрешни ъгли, съответните им вътрешни ъгли са еднакви, или че техните три различни мерки на ъглите са съответни една на друга. И двата триъгълника имат ъгъл от Х. И двата имат ъгъл с мярка Х, и двата имат ъгъл с мярка Y, и двата са правоъгълни триъгълници. Така имаме равни ъгъл, ъгъл, ъгъл можем да кажем по признака ъгъл, ъгъл, ъгъл, един от признаците за подобие, знаем, че триъгълник ЕDA е подобен на триъгълник АВС. Това ни казва, че отношенията на съответните страни ще са еднакви. Например знаем... Да намерим отношението на съответните страни. Знаем, че отношението на, да кажем, СВ към ВА, нека запишем това... Това ни казва, че отношенията на съответните страни ще са еднакви. Тоест, отношението на СВ върху ВА ще е равно на... Съответната страна на СВ е страната, противоположна на ъгъла Х-градуса ето тук. Тоест, съответната страна на СВ е страна AD. Това ще е равно на AD върху... коя е съответната страна на ВА? ВА е противоположна на ъгъла Y-градуса. Тук съответната страна е DE. AD върху DE. Нека направя това в същия цвят. Върху DE. Видяхме в началото, че това тук е наклонът (ъгловият коефициент) на L. Наклонът на L. Как се отнася това към наклона на М? Забележи, наклонът на М е отрицателното реципрочно на това. Взимаш реципрочното, ще получиш DE върху AD, а после имаш този отрицателен знак тук. Можем да запишем това като отрицателното реципрочно на наклона на М. Негативното реципрочно на наклона (ъгловия коефициент) на М. И ето, готово. Показахме, че ако приемем, че L и М са перпендикулярни и построим тези подобни триъгълници, и можем да покажем, че наклонът на L е отрицателното реципрочно на наклона на М.