Доказателство: перпендикулярен към хорда радиус разполовява хордата

Дадена е окръжност с център точка О, както се вижда на чертежа, и отсечка ОD, като е дадено, че отсечката OD е радиус на окръжността. Дадено е още, че отсечка ОD е перпендикулярна на хордата АС или на отсечка АС. Искаме да докажем, че отсечка ОD разполовява отсечка АС. Друг начин да формулираме това е, че тя пресича отсечка АС в нейната средна точка. Постави видеото на пауза и опитай да докажеш твърдението. Сега да го докажем заедно. Начинът, по който смятам да го докажа, е като построя два еднакви триъгълника. Ще начертая тези триъгълници. Ще начертая един радиус от точка О до точка С, и друг радиус от точка О до точка А. Знаем, че дължината на АО е равна на дължината на ОС, защото и АО, и АС са радиуси на окръжността. В една окръжност дължината на радиуса не се променя. Мога да отбележа на чертежа, че тези две отсечки са равни. Знаем още, че отсечка ОМ е равна на самата себе си, а тя е страна в тези два триъгълника. Ще го запиша по следния начин. ОМ е равна на ОМ, което се подразбира. Това е един вид очевидно. Тя е равна на самата себе си. Така че имаме и това. Тези два триъгълника са правоъгълни. Откъде знаем, че триъгълниците са правоъгълни? Защото в условието е дадено, че отсечка ОD е перпендикулярна на отсечка АС, така че приемаме това, което е дадено в условието. Ако имахме просто два триъгълника, които имат две двойки съответно равни страни това не е достатъчно, за да докажем, че триъгълниците са еднакви. Но щом това са два правоъгълни триъгълника, това ни е достатъчно. Можем да разсъждаваме по два начина. По признака за еднаквост на правоъгълни триъгълници, ако имаме правоъгълен триъгълник, по-точно два правоъгълни триъгълника, ако две страни от единия триъгълник са съответно равни на две страни от другия триъгълник, (в случая хипотенузата и единия катет) това означава, че двата триъгълника са еднакви. (съгласно признака за еднаквост на правоъгълни триъгълници – „прав ъгъл – страна – хипотенуза“) Друг начин да разсъждаваме е, което е много логичен начин, е да използваме питагоровата теорема. Ако знаем двете страни на един правоъгълен триъгълник, съгласно питагоровата теорема можем да определим дължината на третата страна. Но сега можем да кажем – нека да използваме признака за еднаквост на правоъгълни триъгълници, но можем да използваме също така и питагоровата теорема, за да докажем, че страната АМ е равна на страната МС. Но сега ще го запиша по следния начин. Ще запиша, че триъгълник АМО е еднакъв с триъгълник СМО по признака за еднаквост на правоъгълни триъгълници. А щом триъгълниците са еднакви, тогава съответните им страни трябва да са равни. Следователно страната АМ ще бъде равна – затруднявам се с думата "еднаква" – ще бъде равна на отсечката СМ, т.е. тези две страни имат една и съща дължина. Щом те имат равни дължини, ние току-що доказахме, че точка М е средна точка на АС, или че OD разполовява АС. Ще го запиша по следния начин: Следователно ОD разполовява АС. Отсечка OD разполовява отсечка АС и сме готови.