Определяне на елементите на окръжност, зададена с разширено уравнение

От нас се иска да начертаем окръжност. Дадено ни е това странно изглеждащо уравнение. Можем да я начертаем ето тук. За да начертаем окръжността, трябва да знаем къде е центърът ѝ, както и колко е нейният радиус. Да видим дали можем да променим това. Трябва да знаем колко е радиусът. Следователно трябва да приведем това във вид, в който можем да намерим центъра и радиуса. Ще извадя моята малка черна дъска, за да видим как да го направим. Това е същото уравнение. Това, което искам да направя, е да допълня квадрата по отношение на х и да допълня квадрата по отношение на у, за да го приведем във вид, който познаваме. Нека първо да вземем всички членове х. Имаме х^2 и 4х от лявата страна. Мога да го пренапиша като х^2 + 4х. Около това ще сложа някакви скоби, защото искам да допълня квадрата. След това имаме членовете у. Ще ги оградя в кръг. Червеното изглежда почти като лилавото. Ще ги оградя в синьо. у^2 и –4у. Имаме у^2 със знак плюс и –4у. След това имаме –17. Ще го оставя в неутрален цвят. Имаме –17 и е равно на 0. Искам да преобразувам всеки от тези изрази в лилаво в точни квадрати. Как мога да го направя? Това ще стане точен квадрат ако взема половината на 4 и я повдигна на квадрат. Ако това тук е 4 със знак плюс, тогава целият този израз ще бъде (х + 2)^2. Можеш да го провериш ако искаш. Ако имаш нужда от преговор относно допълването до квадрат, в Кан Академията ще откриеш много видео уроци по тази тема. Засега взехме половината от този коефициент и го повдигнахме на квадрат, за да получим 4. Половината от 4 е 2, на квадрат става 4. Това следва от действието, при което вземаш х + 2, повдигаш го на квадрат, и става х^2 плюс два пъти по произведението на 2 и х, плюс 2^2. Сега просто можем да добавим една четворка. Дотук имахме равенство, а след като добавихме 4, вече нямаме. Ако искаме да запазим равенството, трябва да добавим 4 и от дясната страна. Хайде да направим същото с у. Половината от този коефициент тук е –2. Ако повдигнем –2 на квадрат, става 4 със знак плюс. Не можем да направим това само от лявата страна. Трябва да го направим и от дясната страна. Това, което имаме в синьо, става (у – 2)^2. И тук имаме –17. Но защо да не добавим и 17 към двете страни, за да се освободим от това –17 тук? Нека да добавим 17 отляво и отдясно. Отляво остават тези два израза. А отдясно става 4 плюс 4 плюс 17. Става 8 плюс 17, което е равно на 25. Това вече е вид, който познаваме. Ако имаме (х – а)^2 + (у – b)^2 = r^2, знаем, че центърът е в точката (a; b). Това е точката, в която тези двете са равни на 0. Знаем също, че радиусът ще бъде r. Ако погледнем тук, колко е нашето а? Трябва да бъдем внимателни. Нашето а не е 2. Нашето а е –2. х минус –2 е равно на 2. Следователно координатата х на нашия център ще бъде –2, а координатата у ще бъде 2. Помни, интересува ни стойността на х, при която това става 0, и стойността на у, при която това става 0. Следователно, центърът е с координати (-2; 2). Това е радиусът на квадрат. Радиусът е равен на 5. Нека да се върнем в упражнението и да видим какво се случва. Това е (-2; 2). Нашият център е в точката (-2; 2). Ето това тук. х е равно на –2, у е равно на 2. А радиусът е равен на 5. Да видим, това ще бъде 1, 2, 3, 4, 5. Трябва малко да го разширим. Мишката ми засече. Готово! 1, 2, 3, 4, 5. Да проверим нашия отговор. Правилен е.