Основно съдържание

Геометрия (цялото съдържание)

Курс: Геометрия (цялото съдържание) > Раздел 14

Урок 7: Вписани ъгли

Доказване на теоремата за вписан ъгъл

Доказване на това, че вписаният ъгъл е половината от централния ъгъл, който отговаря на същата дъга.

Започваме

Преди да започнем да говорим за доказателството, нека се уверим, че разбираме някои от особените термини, свързани с окръжностите.

Ето едно кратко упражнение, за да провериш, дали можеш да използваш термините самостоятелно:

Използвайки чертежа, свържи променливите с членовете.

1

[Обосновка на отговорите]

Добра работа! Ще използваме тези членове до края на упражнението.

Какво ще докажем

Ще докажем, че нещо много интересно се случва, когато даден вписан ъгъл

(ψ)

и даден централен ъгъл

(θ)

отсичат една и съща дъга: Мярката на централния ъгъл е два пъти мярката на вписания ъгъл.

θ = 2 ψ

Преглед на доказателството

За да докажем, че

θ = 2 ψ

за всички

θ

ψ

(както ги определихме по-горе), трябва да разгледаме три отделни случая:

Случай A	Случай B	Случай C

Заедно тези случаи важат за всички възможни ситуации, при които вписаният и централният ъгъл отсичат една и съща дъга.

Случай A: Диаметърът лежи по дължината на един от лъчите на вписания ъгъл, $ψ$ ‍.

Стъпка 1: Намери равнобедрените триъгълници.

Отсечки

\overset{―}{B C}

\overset{―}{B D}

са и двете радиуси, така че имат еднаква дължина. Това означава, че

△ C B D

е равнобедрен, което означава също, че ъглите в основата му са еднакви:

m ∠ C = m ∠ D = ψ

Стъпка 2: Намери правия ъгъл.

Ъгъл

∠ A B C

е прав ъгъл, така че

\begin{aligned} θ + m ∠ D B C & = 180^{\circ} \\ m ∠ D B C & = 180^{\circ} - θ \end{aligned}

Стъпка 3: Състави уравнение и намери $ψ$ ‍.

Вътрешните ъгли на

△ C B D

са

ψ

ψ

(180^{\circ} - θ)

, а ние знаем, че вътрешните ъгли на всеки триъгълник имат сбор от

180^{\circ}

\begin{aligned} ψ + ψ + (180^{\circ} - θ) & = 180^{\circ} \\ 2 ψ + 180^{\circ} - θ & = 180^{\circ} \\ 2 ψ - θ & = 0 \\ 2 ψ & = θ \end{aligned}

Чудесно. Завършихме доказателството на Случай A. Останаха само още два случая!

Случай B: Диаметърът е между лъчите на вписания ъгъл, $ψ$ ‍.

Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра

Използвайки диаметъра, нека разделим

ψ

на

ψ_{1}

ψ_{2}

, а

θ

на

θ_{1}

, и

θ_{2}

, както следва:

Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.

На новия чертеж диаметърът разделя окръжността на две половини. Всяка половина има вписан ъгъл с лъч върху диаметъра. Това е същата ситуация, както в Случай A, така че знаем, че

(1) θ_{1} = 2 ψ_{1}

(2) θ_{2} = 2 ψ_{2}

заради това, което научихме в Случай A.

Стъпка 3: Събери уравненията.

\begin{aligned} θ_{1} + θ_{2} & = 2 ψ_{1} + 2 ψ_{2} & Прибави (1) и (2) \\ (θ_{1} + θ_{2}) & = 2 (ψ_{1} + ψ_{2}) & Групирай променливите \\ θ & = 2 ψ & θ = θ_{1} + θ_{2} и ψ = ψ_{1} + ψ_{2} \end{aligned}

Случай B е готов. Остана само още един случай!

Случай C: Диаметърът е извън лъчите на вписания ъгъл.

Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра

Използвайки диаметъра, нека образуваме два нови ъгъла:

θ_{2}

ψ_{2}

, както следва:

Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.

Подобно на това, което направихме в Случай B, направихме чертеж, който ни позволява да използваме наученото от Случай A. От този чертеж знаем следното:

(1) θ_{2} = 2 ψ_{2}

(2) (θ_{2} + θ) = 2 (ψ_{2} + ψ)

Стъпка 3: Замести и опрости.

\begin{aligned} (θ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & (2) \\ (2 ψ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & θ_{2} = 2 ψ_{2} \\ 2 ψ_{2} + θ & = 2 ψ_{2} + 2 ψ \\ θ & = 2 ψ \end{aligned}

И сме готови! Доказахме, че

θ = 2 ψ

във всичките три случая.

Резюме на това, което направихме

Опитахме се да докажем, че мярката на централния ъгъл е два пъти мярката на вписания ъгъл, когато двата ъгъла отсичат една и съща дъга.

Започнахме доказателството, установявайки три случая. Заедно тези случаи важат за всички възможни ситуации, при които вписан ъгъл и централен ъгъл отсичат една и съща дъга.

Случай A	Случай B	Случай C

В Случай A намерихме равнобедрен триъгълник и прав ъгъл. От това съставихме няколко уравнения, като използвахме

ψ

θ

. С помощта на малко алгебрични изчисления доказахме, че

θ = 2 ψ

В случаи B и C въведохме умело диаметъра:

Случай B	Случай C

Това прави възможно да използваме резултата от Случай A, който разгледахме. И в Случай B, и в Случай C съставихме уравнения, свързващи променливите във фигурите, което беше възможно само заради това, което научихме в Случай A. След като съставихме уравнението, извършихме малко алгебрични изчисления, за да покажем, че

θ = 2 ψ

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Геометрия (цялото съдържание)

Курс: Геометрия (цялото съдържание) > Раздел 14

Започваме

Какво ще докажем

Преглед на доказателството

Случай A: Диаметърът лежи по дължината на един от лъчите на вписания ъгъл, ψ‍ .

Стъпка 1: Намери равнобедрените триъгълници.

Стъпка 2: Намери правия ъгъл.

Стъпка 3: Състави уравнение и намери ψ‍ .

Случай B: Диаметърът е между лъчите на вписания ъгъл, ψ‍ .

Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра

Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.

Стъпка 3: Събери уравненията.

Случай C: Диаметърът е извън лъчите на вписания ъгъл.

Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра

Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.

Стъпка 3: Замести и опрости.

Резюме на това, което направихме

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Случай A: Диаметърът лежи по дължината на един от лъчите на вписания ъгъл, $ψ$ ‍.

Стъпка 3: Състави уравнение и намери $ψ$ ‍.

Случай B: Диаметърът е между лъчите на вписания ъгъл, $ψ$ ‍.