If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Доказване на теоремата за вписан ъгъл

Доказване на това, че вписаният ъгъл е половината от централния ъгъл, който отговаря на същата дъга.

Започваме

Преди да започнем да говорим за доказателството, нека се уверим, че разбираме някои от особените термини, свързани с окръжностите.
Ето едно кратко упражнение, за да провериш, дали можеш да използваш термините самостоятелно:
Използвайки чертежа, свържи променливите с членовете.
1

Добра работа! Ще използваме тези членове до края на упражнението.

Какво ще докажем

Ще докажем, че нещо много интересно се случва, когато даден вписан ъгъл (ψ) и даден централен ъгъл (θ) отсичат една и съща дъга: Мярката на централния ъгъл е два пъти мярката на вписания ъгъл.
θ=2ψ

Преглед на доказателството

За да докажем, че θ=2ψ за всички θ и ψ (както ги определихме по-горе), трябва да разгледаме три отделни случая:
Случай AСлучай BСлучай C
Заедно тези случаи важат за всички възможни ситуации, при които вписаният и централният ъгъл отсичат една и съща дъга.

Случай A: Диаметърът лежи по дължината на един от лъчите на вписания ъгъл, ψ.

Стъпка 1: Намери равнобедрените триъгълници.

Отсечки BC и BD са и двете радиуси, така че имат еднаква дължина. Това означава, че CBD е равнобедрен, което означава също, че ъглите в основата му са еднакви:
mC=mD=ψ

Стъпка 2: Намери правия ъгъл.

Ъгъл ABC е прав ъгъл, така че
θ+mDBC=180mDBC=180θ

Стъпка 3: Състави уравнение и намери ψ.

Вътрешните ъгли на CBD са ψ, ψ и (180θ), а ние знаем, че вътрешните ъгли на всеки триъгълник имат сбор от 180.
ψ+ψ+(180θ)=1802ψ+180θ=1802ψθ=02ψ=θ
Чудесно. Завършихме доказателството на Случай A. Останаха само още два случая!

Случай B: Диаметърът е между лъчите на вписания ъгъл, ψ.

Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра

Използвайки диаметъра, нека разделим ψ на ψ1 и ψ2, а θ на θ1, и θ2, както следва:

Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.

На новия чертеж диаметърът разделя окръжността на две половини. Всяка половина има вписан ъгъл с лъч върху диаметъра. Това е същата ситуация, както в Случай A, така че знаем, че
(1)θ1=2ψ1
и
(2)θ2=2ψ2
заради това, което научихме в Случай A.

Стъпка 3: Събери уравненията.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Прибави (1) и (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Групирай променливитеθ=2ψθ=θ1+θ2 и ψ=ψ1+ψ2
Случай B е готов. Остана само още един случай!

Случай C: Диаметърът е извън лъчите на вписания ъгъл.

Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра

Използвайки диаметъра, нека образуваме два нови ъгъла: θ2 и ψ2, както следва:

Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.

Подобно на това, което направихме в Случай B, направихме чертеж, който ни позволява да използваме наученото от Случай A. От този чертеж знаем следното:
(1)θ2=2ψ2
(2)(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)

Стъпка 3: Замести и опрости.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ
И сме готови! Доказахме, че θ=2ψ във всичките три случая.

Резюме на това, което направихме

Опитахме се да докажем, че мярката на централния ъгъл е два пъти мярката на вписания ъгъл, когато двата ъгъла отсичат една и съща дъга.
Започнахме доказателството, установявайки три случая. Заедно тези случаи важат за всички възможни ситуации, при които вписан ъгъл и централен ъгъл отсичат една и съща дъга.
Случай AСлучай BСлучай C
В Случай A намерихме равнобедрен триъгълник и прав ъгъл. От това съставихме няколко уравнения, като използвахме ψ и θ. С помощта на малко алгебрични изчисления доказахме, че θ=2ψ.
В случаи B и C въведохме умело диаметъра:
Случай BСлучай C
Това прави възможно да използваме резултата от Случай A, който разгледахме. И в Случай B, и в Случай C съставихме уравнения, свързващи променливите във фигурите, което беше възможно само заради това, което научихме в Случай A. След като съставихме уравнението, извършихме малко алгебрични изчисления, за да покажем, че θ=2ψ.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.