Доказателство: Диагоналите на едно хвърчило са перпендикулярни

В този видео урок искам да докажа, че отсечката AC е перпендикулярна на отсечката DB, въз основа на информацията, която имаме на този чертеж тук. Означено е, че тази страна (AC) има равна дължина с отсечка (BC), тази страна (AD) има същата дължина като тази страна (BA). И ще ти дам подсказка. Ние ще използваме един или повече от признаците за еднаквост. По-нататък ще ги наричам само признаци (постулати). И така тези, които вече знаем... нека начертая една права тук. Това ще ни е един вид инструментариум. Имаме 3-ти признак (3 равни страни), при който ако три страни са съответно равни, то двата триъгълника са еднакви. Имаме 1-ви признак (страна - ъгъл - страна). Ако две страни и ъгъл между тях са съответно равни, то двата триъгълника са еднакви. Имаме и 2-ри признак (ъгъл - страна - ъгъл) – Страна и двата прилежащи на нея ъгли. И 3-ти признак (Ъгъл - ъгъл - страна) – Два ъгъла и страна. Всеки един от тези признаци за еднаквост е постулат. И ние ще допуснем, че те определят еднаквост на триъгълници. Ще използвам т.нар. "доказателство в две колони", но ти няма нужда да го правиш. Това обикновено се прави във въвеждащите часове по геометрия, и затова си мислех да ти го представя. Основната идея е, че когато правиш твърдение, трябва да посочиш основанието за това твърдение. Това правим при всяко едно доказателство, но не винаги представяме в добре структуриран ред. Аз просто ще направя следното: Имам 2 колони, ето така, и тук ще имам "твърдение", а тук ще давам "основание" за твърдението. И така, стратегията, която ще пробвам е... Изглежда, че ще мога да докажа, че триъгълниците CDA и CBA са еднакви по 3-ти признак (3 страни). Това е много добро начало, защото след като докажа еднаквостта, ще мога да използвам равенството на ъглите. И мога да докажа това, защото тази страна е равна на тази страна, тази страна е равна на тази и имат една обща страна. Но този път не искам само устно да доказвам. Искам да го изпиша както трябва в тези две колони. И така, имаме, че дължината на отсечката CD е равна на дължината на CB; CD = CB и това ни е дадено. И така, тези две страни са равни. Също така знаем, че страната DA е равна по дължина на страната BA. Или DA = BA. Това също ни е дадено от чертежа. И след това също знаем, че CA е равна на CA, бихме могли да кажем, че CA е равна на себе си. И очевидно принадлежи и на двата триъгълника. Това също ни е дадено или по-скоро е очевидно от чертежа. Това се вижда ясно: двата триъгълника имат обща страна. Следователно, имаме два триъгълника. Техните съответни страни имат равни дължини, от което следва, че те са еднакви. И така ние знаем, че триъгълника CDA е еднакъв на триъгълника CBA. И знаем това заради 3-ти признак за еднаквост (3 страни) и дадените по-горе твърдения Нека да номерирам тези твърдения, за да можем да се позоваваме на тях. 1, 2, 3 и 4. И така – 3-ти признак (по 3 страни) и твърденията 1, 2 и 3. Значи, твърдения 1, 2 и 3 и 3-ти признак (3 страни) ни позволяват да кажем, че тези два триъгълника са еднакви. И ако те са еднакви, следва че и всичките им съответни ъгли ще са равни. Например този ъгъл ще е равен на този ъгъл. Нека запиша тези твърдения ето тук. Знаем, че ъгълът DCE – това ще бъде твърдение 5. Ние знаем, че ъгълът DCE – това е този ъгъл ето тук – ще има същата мярка, дори можем да кажем, че е еднакъв. Аз ще кажа мярката на ъгъла DCE ще е равна на мярката на ъгъл BCE. И това следва веднага от твърдение 4. Еднаквост. Мога да сложа това в скоби. Еднаквост на тези триъгълници. Това се прилага веднага – защото и двата са част от по-големия триъгълник, те са съответни ъгли. И следователно те ще имат едни и същи мерки. Сега изглежда, че можем да направим нещо интересно с тези два по-малки триъгълника (те са горната лява и горната дясна част на тази хвърчило-подобна (делтоидна) фигура). Защото имаме страна – двете съответни страни са равни, два съответни ъгъла са еднакви, и имат обща страна. Ето тази страна тук им е обща. Така че нека първо представим, че имат обща страна ето тук. Ще напиша твърдение 6. Имаме CE – дължината на тази отсечка е равна на себе си. И пак, това е очевидно. Очевидно от чертежа. Това е същата отсечка. Очевидно от чертежа. Но сега можем да използваме този факт, тъй като нямаме 3 страни, не сме доказали, че тази страна е равна на тази страна, че DE има същата дължина като EB, но ние имаме страна, ъгъл между страните и другата страна. И това ни подсеща за 1-ви признак (страна - ъгъл - страна). И можем да кажем, че по 1-ви признак (страна - ъгъл - страна), можем да кажем, че триъгълника DCE е еднакъв на триъгълника BCE. Като изписвам означенията на триъгълниците, проверявам внимателно дали спазвам точната последователност на съответстващите си точки. Започнах с D, после преминах към C, после преминах към E. , И така съответният ъгъл или съответната точка или връх, бих могъл да кажа, на този триъгълник ето тук е B. Понеже започнах с D, сега започвам с B. C е по средата и е съответен връх и за двата триъгълника, следователно го записвам по средата, и после и двата отиват до E. И това е само, за да сме сигурни, че сме описали правилно кое на кое съответства. Ние знаем, че е истина поради 1-ви признак (страна - ъгъл - страна) и информацията, която имаме – ние имаме тази страна - доказано е, че тези две страни са еднакви в твърдение 1, после, че тези ъгли са равни от твърдение 5, ето тук, и после твърдение 6 ни дава другата страна. Твърдение 6, ето така. И ако знаем, че тези два триъгълника са еднакви, това би означавало, че всички техни съответни ъгли ще са еднакви. Следователно знаем, че например този ъгъл ето тук ще е равен на този ъгъл ето там. И нека да запишем това. Имаме твърдение 8. Големината на ъгъл DEC е равна на големината на ъгъл BEC. И това следва веднага от твърдение 7. Още веднъж, те са равни. Равни. И знаем също така... тук направихме твърдение 9... знаем, че големината на ъгъл DEC... или може би трябва да запишем това така – ъгъл DEC и ъгъл BEC са съседни и допълващи се до 180 градуса. Можеш да погледнеш това за проверка, но аз ще го запиша така: те са съседни, което означава, че тяхната сума ще е равна на 180 градуса. И знаем това, защото са съседни и външните страни образуват изправен ъгъл. И после, можем да направим следното – ако знаем, че тези два ъгъла са равни един на друг, и ако знаем, че те са допълващи се до 180, то следващата стъпка е всъщност да изведем, че те трябва да са равни на 90 градуса. И така, 10: големината на ъгъл DEC е равна на големината на ъгъл BEC, която е равна на 90 градуса. И сега основанието ще е може би малко по-объркано, можем да запишем тези две твърдения заедно, или това са твърдения 8 и 9, и от твърдения 8 и 9 следва че DEC... мога да запиша големината на ъгъл DEC плюс големината на ъгъл... всъщност, нека просто... тъй като не искам да правя твърде много действия наведнъж, нека да ги направя едно по едно. Нека да представя всичко това по този начин. Нека да кажа така: "Мярката на ъгъл DEC плюс мярката на ъгъл BEC е равна на 180. и това следва директно от това, че те са допълващи се до 180, твърдение 9." И така можем да направим твърдение 11 (заемам много място вече), можем да кажем, "Мярката на ъгъл DEC плюс мярката на ъгъл DEC е равна на 180 градуса." И ние знаем това от твърдение 9 и твърдение 8. Като цяло, ние просто взехме твърдение 9 и заместихме това, че мярката на BEC е равна на мярката на DEC. И ако искаме твърдение 12, можем да кажем: "Ъгъл DEC е равен на 90, което е равно на ъгъл BEC." И това следва, още веднъж, направо от твърдения 11 и 8. И може би виждаш, че аз отделям повече време като се опитвам да намаля действията за една стъпка, и някой друг може би би казал "О, очевидно, това следва от това или това". И сме готови! И тъй като ако тези са равни на 90 градуса, нека да запиша последното твърдение – твърдение 13, което е това, което искахме да докажем. Искахме да докажем, че AC е перпендикулярна на DB. AC е перпендикулярна на DB, и това следва директно от точка 12. И сме готови! Направихме доказателство в две колони и доказахме, че тази отсечка точно ето тук Ние доказахме това, като използвахме 3-ти признак (страна - страна - страна) е перпендикулярна на тази отсечка точно ето там. и 1-ви признак (страна - ъгъл - страна).