Съответните елементи на еднаквите триъгълници са еднакви помежду си

Нека поговорим малко за еднаквост. Можем да разглеждаме еднаквостта като равенство на фигури. Както в алгебрата, когато две неща са равни помежду си, това означава, че те са равни по големина. Но когато говорим за фигури и кажем, че тези фигури са еднакви, имат една и съща големина и форма, тогава те са "еднакви". Нека разгледаме простичък пример: Да вземем ето този триъгълник тук, и да разгледаме и ето този триъгълник. Ако можем да преместим този триъгълник, и да го завъртим, той може да заприлича досущ на този триъгълник. Стига да не променяме дължината на никоя от страните или ъглите му. Но можем да го обръщаме, преместваме, завъртаме... Можем да го преместим, ще го запиша, можем да го преместваме, обръщаме и завъртаме. Ако с тези три действия можем да получим съвсем същия триъгълник, то триъгълниците са еднакви. И ако кажем, че два триъгълника са еднакви – ще ги означа. Ще означа този триъгълник като АВС, а този ще означа като XYZ. X, Y и Z. Ако твърдим, че тези два триъгълника са еднакви, т.е. ако кажем, че триъгълник АВС е еднакъв – знакът, с който указваме това, прилича почти на знак за равенство, това е знак за равенство с една вълничка отгоре – ще го напиша малко по-ясно. Записваме го ето така. Ако знаем, че триъгълник АВС е еднакъв на триъгълник XYZ, това означава, че съответните им страни имат еднаква дължина, а съответните им ъгли имат еднакви мерки. Ако допуснем това или ако някой ни каже, че това е вярно, тогава знаем, че например страната АВ е равна на XY. Дължината на страната АВ е равна на страната XY. Можем да направим това ето така и аз допускам, че това са съответни страни. Можеш да видиш наистина, че както дефинирахме тези триъгълници, А съответства на X, В съответства на Y, С съответства на Z, ето тук. И така, страната АВ ще има същата дължина като XY. Когато нямаш различни цветове, можеш да означаваш по този начин. Тези две страни – или тези две отсечки – имат еднаква дължина. Можем да кажем това, но не винаги ще го видиш записано по този начин. Можем също да твърдим, че отсечката АВ е еднаква с отсечката XY. Но еднаквостта на отсечките всъщност означава единствено, че техните дължини са равни. И така, тези две неща означават едно и също. Ако една отсечка е еднаква на друга отсечка, това означава просто, че дължината на едната отсечка е равна на дължината на другата отсечка. Можем да направим същото за всички съответни страни. Ако тези две страни са еднакви, знаем също, че ВС – че дължината на ВС ще е равна на дължината на YZ. Предполагаме, че това са съответните страни. Можем да поставим две чертички ето тук, за да покажем, че тези две дължини са равни. Когато стигнем до третата страна, знаем също, че тези ще имат равни дължини, или отсечките са еднакви. Знаем още, че дължината на АС ще е равна на дължината на XZ. Но ние знаем не само, че всички съответни страни ще имат равни дължини. Ако някой ни каже, че два триъгълника са еднакви, ние знаем също, че съответните ъгли ще имат еднакви мерки. Така например знаем също, че мярката на този ъгъл ще е равна на мярката на съответния му ъгъл, а съответният ъгъл е ето тук. Между оранжевата страна и синята страна. Или по-точно трябва да кажа оранжевата и лилавата страна. Между оранжевата и лилавата страна. Това също ни казва, че мярката на ъгъл ВАС е равна на мярката на ъгъл YXZ. Нека напиша знака за ъгъл малко по-добре, мярката на ъгъл YXZ. Можем също да напишем, че ъгъл ВАС е еднакъв на ъгъл YXZ. И отново, както при отсечките, ако една отсечка е еднаква на друга отсечка, това означава просто, че дължините им са равни. А ако един ъгъл е еднакъв на друг ъгъл, това означава просто, че мерките им са равни. И така, знаем, че тези два съответни ъгъла имат еднаква мярка, те са еднакви. Знаем също, че тези два съответни ъгъла – ще използвам двойна дъгичка, за да означа това – имат еднаква мярка, ето така. Знаем още, че мярката на ъгъл АВС е равна на мярката на ъгъл XYZ. И накрая, знаем, че този ъгъл, ако знаем, че тези два символа са еднакви, тогава този ъгъл ще има същата мярка, тъй като това е съответният му ъгъл. И така, знаем, че мярката на ъгъл АСВ ще е равна на мярката на ъгъл XZY. А сега ще се занимаем малко повече с това как доказваме еднаквостта. Защото това е якото, ако можем да докажем еднаквостта на два триъгълника, тогава изведнъж можем да направим всички тези предположения. Това, което ще установим, ще бъде... ще го допуснем за курса по елементарна геометрия... Това е аксиома или постулат, тоест нещо, което смятаме за вярно. И така – аксиома, много специална дума. Постулат, също много специална дума. Тя всъщност означава, че нещата, които допускаме, са верни. Аксиомата е... понякога се прави малка разлика между двете, "аксиомата е нещо, което е очевидно" или изглежда като универсална истина, която определено е вярна, и просто я приемаме за даденост. Не можем да докажем една аксиома. Постулатът има горе-долу същата роля, но понякога за него казваме: Нека допуснем, че това е вярно, и да видим при това допускане какво можем да извлечем от него, какво можем да докажем, ако е вярно. Но за целите на нашия урок по елементарна геометрия и изобщо в математиката в днешни дни, тези две думи се използват като синоними. Аксиома или постулат, просто две малко по-странни думи, означават неща, които приемаме за дадени. Неща, които приемаме за верни, без да ги доказваме. Ще започнем с тези предположения и да видим какво можем да получим от тях. Една от най-важните аксиоми в геометрията е аксиомата, или постулатът, че всички страни са еднакви, ако дължините на всички страни на два триъгълника са еднакви, тогава и триъгълниците са еднакви. Това понякога се нарича аксиома или признак за еднаквост по три страни. Няма да го доказваме, просто ще го приемем за вярно. Това буквално означава страна, страна, страна. И то ни казва, че ако имаме два триъгълника и... Нека да направя още един триъгълник тук. И знаем, че съответните страни са еднакви. Знаем, че тази страна тук е равна на ето тази страна тук, и тази страна е равна на тази страна тук. И знаем също, че тази страна е равна на тази страна. След това знаем... и това просто го приемаме за вярно и ще градим върху него. Знаем, че са еднакви, тези два триъгълника са еднакви един на друг. Не съм сложил означения, затова ми е малко трудно да говоря за тях. Но тези два триъгълника са еднакви. Хубавото тук е, че знаем, че съответните страни са равни. Тогава знаем, че са еднакви и можем да направим всички други допускания. Което означава, че съответните ъгли също са равни. Знаем, че този ще е еднакъв на този, или ще има същата мярка. Този ще има същата мярка като този, и накрая този ще има същата мярка като този тук. Нека да видим защо това е една разумна аксиома или разумно допускане, разумен постулат, като начало. Нека имаме един триъгълник Да кажем, че имам един триъгълник тук. Ето я тази страна, после тази страна, и накрая тази страна ето тук. Сега ще се опитам да разбера дали има друг триъгълник със същите страни, дали има друг начин да построя триъгълник със същите дължини на страните, който е различен, който не може да се "наложи" върху този триъгълник чрез обръщане, преместване или въртене. Допускам, че този друг триъгълник ще има същите страни, със същите дължини като този тук. Ще се опитам да го начертая ето така. Приблизително еднаква дължина. Знаем, че ще има ето такава дължина, ще има страна с такава дължина. Нека да я сложа от тази страна, за да направя нещата малко по-интересни. Знаем, че ще има страна като тази. Ще я начертая с приблизително същата дължина, но ще опитам различен ъгъл. Сега знаем, че ще има страна, която изглежда така. Нека да я сложа ето тук. Става въпрос за тази дължина ето тук. Ясно е, че това не е триъгълник и за да го направя триъгълник, ще трябва да свържа тази точка с ето тази точка. И всъщност има само два начина да направя това. Мога да ги въртя около ето тези точки. Ако ги свържа ето тук, ще получа триъгълник, който изглежда като този. Което всъщност е просто обърнато... дали го визуализирам правилно? Да, просто обърната версия. Можеш да завъртиш малко насам и ще имаш лилаво от тази страна и жълто от тази страна. И можеш да го обърнеш вертикално и ще изглежда ето така. Другата възможност да свържем тези две точки е да ги завъртим по този начин. Тогава жълтата страна ще е тук, а лилавата ще е тук. ... това не е лилаво... Лилавата страна ще бъде ето тук. И тогава ще трябва само да завъртим триъгълника. Трябва само да го завъртим, за да получим ето този триъгълник. Е, това не е доказателство и всъщност започваме да предполагаме, че това е аксиома. Но надявам се виждаш, че е една доста разумна отправна точка това, че ако всички страни и всички съответни ъгли на два различни триъгълника са равни, тогава ще знаем, че те са еднакви. Ще приемем за аксиома това, че са еднакви, и ще стъпваме върху нея занапред. И ще знаем също, че съответните ъгли ще бъдат равни.