Лице на равностранен триъгълник (разширено)

Да кажем, че имаме равностранен триъгълник, при който дължината на всяка страна е 14. Това е един равностранен триъгълник. Всичките му страни са с дължина 14. Вътре в него имам един друг равностранен триъгълник - ето тук - на който всяка от страните е 4. Така, това, което ми е любопитно, е свързано с лицето на участъка - нека оцветя това с различен цвят - лицето на участъка, който затъмнявам тук. Това е лицето на фигурата вътре в по-големия равностранен триъгълник, но извън по-малкия равностранен триъгълник. Нека помислим как ще решим задачата. Насърчавам ви да спрете видеото на пауза, и се опитате да се справите сами. Ами, лицето на затъмнената част ще е равно на лицето на големия равностранен триъгълник минус лицето на малкия равностранен триъгълник. Минус лицето на малкия равностранен триъгълник. Т.е. трябва да намерим какви са лицата на тези равностранни триъгълници. И за да го направим, помним, че лицето на триъгълник се намира по формулата 1/2 по основата по височината. Но как намираме височината на един равностранен триъгълник? Например, ако имам един равностранен триъгълник като този - нека го начертая да е голям, за да мога да го анализирам малко - така, имам един такъв равностранен триъгълник. Всяка една от страните му е с дължина s. Винаги трябва отново да си доказвам това. Просто защото винаги забравям формулата. Помним, че ъглите са 60 градуса, 60 градуса и 60 градуса. Всички те са равни. И това, което искам да направя, за да намеря лицето тук, за да намеря височината, спускам един вертикал. Спускам един вертикал тук, и той ще раздели страната на две. Знам, че не изглежда перфектно, понеже чертежът не е с точност. Но ще има разделяне на две. Ще се образуват тези прави ъгли. И това, което е хубаво тук,е, че съм разделил този равностранен триъгълник на два триъгълника с ъгли по 30, 60 и 90 градуса. 30, 60 и 90 градуса. И това е полезно, защото знам съотношението на страните в един триъгълник с такива ъгли. Ако това е s, и съм го разделил на две, тази оранжева част тук ще е равна на s/2. Това тук също ще е s/2. Te очевидно се допълват до s. И тогава знаем, от триъгълниците с ъгли по 30, 60 и 90 градуса, че страната срещу ъгъла от 60 градуса е равна на корен квадратен от 3, умножено по най-малката страна. Така е тази височина тук ще е равна на корен квадратен от 3s/2. И сега можем да намерим основна формула за лицето на равностранен триъгълник. То ще е равно на 1/2 по основата. Основата ще е s. Така, основата е s. А височината е корен квадратен от 3s върху 2. И това ще се опрости, да видим, в числителя имаме корен квадратен от 3s на квадрат върху четири. И сега можем да приложим това, за да намерим лицата на всеки от тези триъгълници. Това ще е равно на лицето на по-големия триъгълник, ще е корен квадратен от 3/4 по 14 на квадрат. А лицето на по-малкия триъгълник ще е корен квадратен от 3/4 по 4 на квадрат. И нека видим, можем да разложим на корен квадратен от 3/4. Така че това ще е равно на корен квадратен от от 3/4, умножено по 14 на квадрат минус 4 на квадрат. Което, естествено, знаем, че е 16. Но нека сега всъщност изчислим това, за да получим всъщност число. Мога да се опитам да го опростя на ръка. Но нека вместо това взема моя - всъщност, нека най-напред опростя на ръка. Така че в случай, че не сте запомнили таблицата с умножение по 14, можем просто да го пресметнем. 14 по 14, 4 по 14. 4 по 4 е 16. Пренасяме единицата. 4 по 4 е 4 плюс 1, т.е. 56. Тук добавяме 0, понеже сега умножаваме по 10. 10 по 14 е 140. Така че тук се получава 196. И това е равно на квадратен корен от 3/4 по 196 минус 16, което е равно на 180. От там това тук е равно на 180. А 180 се дели на 4, така че това ще е равно на корен квадратен от 3, умножено по, да видим, 180 делено на 4 ще е 45. Т.е. ще бъде 45 по корен квадратен от 3. Правилно ли го сметнах? 180 делено на 4 по 45 е 160 плюс 20. Прави точно 180. Така че се получава 45 корен квадратен от 3. И ако искам да получа приблизителен отговор във вид на десетична дроб, вземам калкулатора. И започваме, 45 по корен от 3 ще даде 77. Ако искам да закръгля с точност до на близките стотни, да кажем, това е 77,94. Така че се получава приблизително равно на 77,94 квадратни единици. Лицето на защрихованата част.