Златното съотношение

В това видео ще разгледаме дали ако имаме отсечка b с някаква дължина, дали мога да създам отсечка а, така че отношението на а към b да е равно на отношението на сумата от двете спрямо по-дългата страна. Да е равно на отношението на (а + b)/а. Ето над какво искам да направя – да направя А, така, че в това златно сечение Това, което се опитвам да постигна, е отношението на по-дългата страна към по-късата да е равно на отношението на цялото към по-дългата страна. И ако предположим, че постигнем такова отношение, и го наречем с гръцката буква Фи, нека видим какво можем да научим за това специално отношение. Фи е равно на a/b, което пък е равно на (a + b)/a. Знаем, че (a + b)/a е равно на a/a + b/а. а върху а е 1, b върху a е обратното на това отношение тук. Така b/a, това тук, е фи, така че b/a ще бъде 1/фи. Това ще бъде 1 върху фи. И тук става интересно, получили сме число, което е... ще го наречем златно сечение, фи е равно на 1 плюс 1 едно върху фи. Е това е хубаво твърдение, първо ще извадим 1 от двете страни на това, получаваме фи минус едно е равно на реципрочното си. Звучи като хубаво свойство на което и да е число, като извадим едно от него, да получим реципрочната му дроб. Това вече звучи интригуващо. Но пък дори това твърдение тук е интересно, защото сме предефинирали фи като 1 едно плюс 1 върху фи. Можем да мислим по следния начин, може да кажем, че фи е равно на 1 плюс едно върху фи, но вместо да напишем фи, казваме фи е просто 1 плюс 1 върху 1 върху и вместо да кажа фи, това е просто 1 плюс 1 върху и мога да напиша фи, или пък мога да продължа, мога да продължа безкрайно. Мога да кажа, че е 1 върху 1 плюс 1 вурху и да продъжавам все така до безкрай. И ето това е рекурентна дефиниция на функция, където... рекурентна дефиниция на променлива, която е дефинирана чрез самата себе си. Това изглежда като хубаво свойство, но ние искаме да задълбаем още. Всъщност искаме да разберем какво е фи, каква е стойността на фи, това странно число, това странно отношение, което започваме да изучаваме. Нека видим дали можем да го направим на квадратно уравнение, което можем да решим. Ще използваме сравнително тривиални методи и най-лесният начин е да умножим двете страни на това уравнение с фи. Така получаваме фи на квадрат плюс, или фи на квадрат е равно на фи фи плюс 1 фи квадрат е равно на фи плюс 1 И сега всъщност ще взема страна тук, защото дори това е интересно, защото ако коренуваме двете страни на това [уравнение], получаваме... ще се преместя малко надолу... получаваме фи е равно на корен квадратен от, и тук ще разменя местата, корен квадратен от 1 плюс фи. Отново можем да дадем рекурентна дефиниция: фи е равно на корен квадратен от 1 плюс фи. Тук мога да напиша фи, но фи е равно на корен квадратен от 1 плюс, е равно на корен квадратен от 1 плюс и мога да напиша фи тук, но пък фи е равно на корен квадратен от 1 плюс корен квадратен от 1 плюс и можем да продължим така безкрайно. Така че и това е готино, едно и също число може да се изрази по този начин същото число, от което като извадя единица получавам реципрочното му, може да бъде изразено и чрез тези рекурентни квадратни корени един под друг. И така това започва да бъде много, много интригуващо. Да се върнем на въпроса. Нека в крайна сметка да решим това, това магическо число, това магическо, това магическо отношение, за което се замислихме и от една проста идея че отношението на по-дългата страна към по-късата страна е равно на отношението между сбора им към по-дългата страна Нека решим това като обикновено квадратно уравнение. Да сложим всичко в лявата страна, ще извадим фи плюс 1 от двете страни и получаваме фи квадрат минус фи, минус 1 е равно на нула. Сега можем да намерим фи с помощта на формулата за корени на квадратно уравнение, която сме доказвали в други клипчета, можеш да го докажеш, използвайки допълнението на квадрата, а формулата за намиране на корените на квадратно уравнение казва минус b, минус b е коефициентът на този член тук, нека само го запиша, а е равно на 1, това е коефициентът пред този член; b е равно на –1 това е коефициента на този член; с е равно на –1, това е коефициентът, всъщност е свободният член, така че решението на това - фи всъщност ни интересува само положителното решение защото мислим за положителни... и в двете ни началния уравнения приемаме, че това са положителни разстояния, за това търсим само положителната стойност тук. Получаваме фи е равно на... ... ще го направя оранжево... минус b, е минус минус 1 е 1 плюс/минус корен квадратен от b квадрат, b квадрат е 1 минус 4ac a е 1, c е минус 1, така че минус 4 пъти минус 1 е плюс 4. И така 1 плюс 4 върху 2a. a е едно, цялото е равно на 2. И така фи е равно на 2, и отново, интересува ни само положителното решение. Това ще бъде корен квадратен от 5 имаме 1 минус корен квадратен от 5 В числителя се получава отрицателно число, но ни интересуват само положителни корени. Едно плюс корен квадратен от 5 върху 2. Изглежда като доста доста интересно число. Да извадим все пак калкулаторите и да видим дали можем да видим първите цифри на това магическо фи. Нека си извадя калкулатора и да го пресметна, и можеш да видиш, че корен квадратен от фи е ирационално число, и така цялото това нещо ще бъде ирационално число. Но в друго видео ще докажа, че това означава, че то никога не се повтаря продължава безкрай, но нека все пак да го оценим Имаме 1 плюс корен квадратен от 5 1 плюс корен квадратен от 5 делено на 2 и така това е 1,6180339 нека го оставим настрани, и нека го запиша, и тук идва интересната част, както и мистериозна. Това число тук е 1,618033988 и то си продължава и продължава никога не свършва, никога не се повтаря. Само по себе си е готино число – то е това отношение с всичките тези готини свойства, които са доста шантави, както и да го изразим. И което е наистина яко, ако се върнем пак тук. Защото какво ще бъде 1 въху фи? Така, 1 въху фи, което понякога бележим с главно фи (Ф) Вече имаме 1 върху фи е просто фи минус 1, можем да го направим и наум, 1 върху това е просто 0,618033988. Знам ли, има нещо странно тук, че реципрочното на числото е просто числата след запетаята, оставащи като се отървем от единицата. Само по себе си това е странна идея, но става още по-странно, защото това число се появява навсякъде, и както може да си представиш от заглавието на видеото, това фи тук се нарича златно сечение. Това е златното сечение, което се появява навсякъде. "Златното сечение". Появява се в изкуството, в музиката, в природата. И само да ти покажа къде се появява в природата, появява се в много чисти идеи и ако просто нарисувам... ако нарисувам перфектна звезда, ако нарисувам нормална звезда като тази нека само я нарисувам ето тук. Това е обикновена звезда, всичките дължини са равни, всички... нека я нарисувам по-добре от това. Ако просто нарисувам звезда тук, или понякога се нарича пентаграм. Някои невероятни неща се случват. Отношението между тази розова страна към тази синя дължина ето тук, това е златното сечение. Отношението между пурпурното и розовото е златното сечение, както трябва по дефиниция. Отношението между пурпурното и оранжевото е също златното сечение. Появява се по куп различни начини, като погледнем пентаграма като тази, ако разгледаме нещо като петоъгълник, правилен петоъгълник, където всички ъгли са равни и всички страни са равни, правилен петоъгълник, ако вземеш някой от диагоналите на този правилен петоъгълник, ето този тук, ако вземеш този диагонал тук, отношението между тази зелена страна към... ... и като казвам диагонал имам предвид тези, които не са ръбове, отношението на който и да е диагонал, към която и да е от страните, за пореден път се появява това златно сечение. Продължава да се поява отново и отново и можем да правим интересни неща със златното сечение. Нека кажем, че имаме правоъгълник, в който отношението между широчината и височината е златното сечение, нека пробваме това, да кажем че това е височината, а това е широчината, и това е отношението, да означим това като а, а това b. И отношението между a и b е фи, то е 1,61.... и така нататък. Нека да се преместя малко надолу, това ще е равно на фи, и така, може би това е нещо интересно, може да е добре изглеждащ правоъгълник от някакъв вид, но нека да направя един квадрат ето тук. Нека да направя тук квадрат със страна b, ето това е квадрат със страна b, и нека, всъщност нека го нарисувам малко по-различно, този правоъгълник не е точно както бих искал да го начертая, така че отношението би изглеждало така. Отношението между широчината и дължината или широчината и височината, ще бъде златното сечение. a/b ще бъде златното сечение. И нека отделя квадрат със страна b ето тук. Малък квадрат със страни b на b. Това също има широчина b. Това разстояние ето тук ще бъде а – b, и това е b на (a – b) квадрат и имаме... всъщност трябва да кажа имаме квадрат b на b ето тук, това е b на b, и остава правоъгълник със страни b на (a – b). Не би ли било яко, ако това също беше златното сечение? Нека пробваме. Да намерим отношението на b към (a – b). Отношението на b към (a – b) ще бъде равно на 1 върху отношението (a – b) към b. Просто взех реципрочното тук и това ще даде 1 върху а/b минус 1. Така го представих ето тук. И това ще е равно на 1 върху фи, отношението на а към b по дефиниция е фи, фи минус 1 Но какво е фи минус 1? Е, фи минус 1 е 1 върху фи! Супер яко число! Това е равно на 1 върху 1 върху 1 върху фи, което отново е равно на фи. Отново, отношението в този малък правоъгълник на височината към широчината му, е за пореден път златното сечение, това число, което продължава да се появява. И тук можем да направим същото нещо отново можем да отделим един квадрат със страни (a – b) на (a – b). Ето така. И имаме още един "Златен правоъгълник", както понякога се нарича, и можем да отделим още един квадрат, и отново се получава златен правоъгълник. Можем да отделим това като квадрат и пак получаваме златен правоъгълник. Всъщност нека го направя така, ще бъде по-добре. Нека отделя, нека сложа квадрата тук горе, и така това е квадрат със страни (a – b) на (a – b), и тук имаме още един златен правоъгълник. Мога да сложа квадрат тук и ще имаме още един златен правоъгълник, в който можем да сложим друг квадрат ето тук и отново златен правоъгълник... виждаш накъде отиват нещата. Пак квадрат и пак златен правоъгълник, което само по себе си дава готин дизайн, който можем да запазим, нещо като кръжене навътре. И ако всъщност нарисуваме дъга тук, става нещо яко. Ако имаме дъга, която следва тези неща... Получихме нещо, което може да ти е известно вече. И тази крива не изглежда различно от това, което може да се види при черупка на морски охлюв и изниква навсякъде в природата. Има причина за това, защото клетките така се изграждат, и изглежда логично да бъде същото в различен мащаб, и отношението на един мащаб към следващия е може би същото като горе-долу съставните отношения. Това тук се появява и навсякъде в изкуството, в много от картините на Леонардо да Винчи. Той никога... няма изрично отбелязани, но има много интересни отношения в тях. Но Салвадор Дали в тази картина тук, "Тайната вечеря", нарочно е използвал златното сечение, действителното отношение между височина и широчина е златното сечение така това е златен правоъгълник. Има и всякакви други отношения и те каня да ги разгледаш, отношенията на различните части на масата и мястото им в картината, това е златното сечение. В тази картина се появява много а ето тук са и петоъгълниците, а ние знаем, че отношението диагонал към страна на петоъгълника е също златното сечение. Мисля, че е доста интересно и има много готини неща. Тези двама, които се покланят, ако начертаем тази линия, това е златното сечение – отношението на тази дължина тук към тази тук, отново е златното сечение. Непрекъснато се появява в картината. И е доста яко нещо. И те съветвам да се поинтересуваш още, защото е вълнуващо.