Начини за напречни сечения на куб

В това видео искам да разгледаме видовете двуизмерни фигури, които можем да построим, като разрязваме кубове на плоски парчета. За какво говоря? Нека кажем, че искам да получа квадрат. Как можем да разрежем един куб с равнина, така че сечението на куба с равнината да бъде квадрат? Ще си представим, че тази равнина, с която ще разрежем по този начин... квадратът е може би най-очевидната форма. Равнината разрязва куба горе вдясно ето там, разрязва страната ето тук, разрязва страната... предполагам на задната част на стъкления квадрат, където ще видиш пунктирана линия, и след това го разрязва ето тук. Следователно можеш да си представиш равнина, която прави това. Ако искам да начертая по-широка равнина, мога да я начертая по този начин. Нека видим дали мога да я начертая по достатъчно приемлив начин. Част от равнината, която разрязва този куб. Тя ще изглежда като... Тя ще изглежда по подобен начин. Дори мога да оцветя частта от равнината, която е видима ако кубът е непрозрачен, т.е. не можеш да виждаш през него. Но ако можеше да виждаш през него, щеше да видиш тази пунктирана линия и равнината щеше да изглежда така. Така че квадратът е доста лесно нещо, което можем да получим, ако правим плосък разрез на куб. Но какво ще кажем за правоъгълник? Как можем да го получим? Като във всеки един момент ти препоръчвам, да спреш видеото на пауза и да се опиташ да помислиш върху това самостоятелно. Как можем да получим тези фигури, за които говоря? За правоъгълник можеш да разрежеш по следния начин. Ако разрежеш тази страна така и след това разрежеш тази страна така, и след това тази страна по този начин. Мисля, че виждаш какво се получава, тази страна ето така, и след това разрязваш долната част ето там. След това сечението на равнината, с която правиш разреза... сечението – да видим... Това може да бъде равнината, с която разрязвам, така че сечението на равнината, с която правя разреза и куба да бъде правоъгълник. То може да изглежда по този начин. Като отново нека защриховам тук. Ако си представяш равнината като един от онези огромни мечове, които магьосниците използват, за да режат хората наполовина или претендират, че го правят – те създават илюзията за рязане на хора наполовина. Това може да изглежда по този начин. Добре! Ще кажеш: "Не е толкова трудно да се получи това. Ако пресека равнина с куб, мога да получа квадрат, мога да получа и правоъгълник. Но какво ще кажем за триъгълници?" Още веднъж, спри видеото на пауза, ако мислиш, че можеш да го направиш. Триъгълниците не са толкова трудно нещо. Можеш да разрежеш тази страна тук, тази страна тук, и тази страна тук, и го получихме – разбира се мога да продължа да чертая равнината, но мисля, че схващаш идеята – това ще бъде триъгълник. Има различни видове триъгълници, които можеш да построиш. Можеш да построиш равностранен триъгълник, стига този разрез да е с еднаква дължина като този разрез тук, което да е със същата дължина като дължината, която се образува, при пресичането на тази страна на куба, това ще бъде равностранен триъгълник. Ако разтеглиш тази точка още нагоре, всъщност ще го направя с различен цвят, ще получиш равнобедрен триъгълник. Ако сложиш тази точка наистина, наистина близко, ето тук, почти ще образуваш прав ъгъл, но той няма да е напълно прав ъгъл. Все още ще имаш тези ъгли, които все още ще бъдат по-малки от 90º, но можеш да клониш към 90º. Не можеш да имаш точно прав ъгъл и тъй като не можеш да получиш 90º, е достатъчно сигурно, че не можеш да се приближиш до 91º, така че всъщност няма да можеш да образуваш и тъпоъгълен триъгълник. Но можеш да образуваш равностранни, можеш да образуваш равнобедрени, можеш да образуваш разностранни триъгълници. Можеш да образуваш различни видове остроъгълни триъгълници. Но сега нека направим няколко наистина интересни неща. Можеш ли да получиш петоъгълник чрез разрез на куб с равнина? Като аз наистина искам да спреш видеото на пауза и да помислиш върху това, защото това е доста забавно нещо, върху което да помислиш. Как можеш да получиш петоъгълник чрез разрязването на куб с равнина? Добре, ето, ето как можеш да получиш петоъгълник чрез сечението на куб с равнина. Представи си, че разрязваш горната част – ще го направим малко по-различно – представи си, че разрязваш горната част ето там, по този начин. Представи си, че разрязваш задната страна по този начин, тази задна страна, която не можеш да видиш, ето така. Сега разрязваш тази страна тук по този начин и след това разрязваш тази страна ето тук по този начин. Това може да бъде... по подобен начин ще начертая равнината... може би няма да е толкова очевидно, ако се опитам да начертая равнината... но схващаш действителната идея. Ако разрежа тук под точния ъгъл (не прав ъгъл от 90º, а точния ъгъл като правилния ъгъл). (Забележка: right angle означава едновременно прав ъгъл от 90º и правилен, точен, подходящ за случая). Ако разрежа под точния ъгъл, с който правя сечението на равнината, тогава кубът ще бъде този петоъгълник ето тук. Сега нека вдигнем още повече залога! Какво ще кажеш за шестоъгълник? Мога ли да разрежа куб по някакъв начин с двуизмерна равнина и да получа сечение шестоъгълник на равнината с куба? Нямаше да задавам този въпрос, ако не можеше. Така че нека видим дали мога да го направя. Ако го срежем ето тук, ако срежем долната част ето тук и след това срежем тази задна страна по този начин, и след това срежем тази задна страната по този начин, и след това срежем тази страна, която виждаме тук, и тази която виждаме тук... Можех да направя тази страна малко по-права. Дано да схващаш идеята! Мога да срежа този куб така, че всъщност да получа шестоъгълник. Дано това да ти дава по-добра преценка, какво всъщност можеш да направиш с един куб, особено ако си зает да го режеш с големи плоски равнини или големи плоски мечове по някакъв начин. Има всъщност повече неща, свързани с един куб, които може да си си представял в миналото. Когато го разгледаш, има 6 страни в един куб, неговите 6 повърхности, така че можеш да срежеш колкото искаш повърхности от шестте, когато го пресичаш с равнина. И всеки път, когато срязваш една от тези повърхности, тя образува страна. Тук го разрязваме от 4 страни, тук режем 4 повърхности или 4 страни, тук режем от 3, тук разрязваме 5. Не срязваме долна част на куба тук. А тук срязваме всичките 6 страни, всички 6 от повърхностите, от страните на този куб.