Основно съдържание

Геометрия (цялото съдържание)

Курс: Геометрия (цялото съдържание) > Раздел 8

Урок 4: Обем на конуси, цилиндри и сфери

Формули за обем - преговор

Преглед на формулите за обем на призма, цилиндър, пирамида, конус и сфера.

Може би на пръв поглед изглежда, че има голям брой формули за пресмятане на обем на тела, но по същество повечето от тях имат сходна логика и структура.

Призми и подобни на призми тела

{Обем}_{призма} = (лицето на основата) \cdot (височината)

Винаги измерваме височината на призмата перпендикулярно на равнината на основата ѝ. Това се отнася дори и за призми, които са наклонени.

Правоъгълна призма

Често първо се изучава как се пресмята обема на правоъгълна призма (по-точно на права правоъгълна призма), например чрез изграждане на призмата с кубчета.

Обърни внимание, че произволна стена на правоъгълната призма може да бъде нейна основа, ако измерим височината на призмата перпендикулярно на тази стена.

\begin{aligned} {Обем}_{правоъгълна призма} & = ({Лице}_{правоъгълник}) \cdot (височина) \\ = ((основа на правоъгълника) (височина на правоъгълника)) \cdot (височина на призмата) \\ = l w h \end{aligned}

Триъгълна призма

Триъгълната призма има основа с форма на триъгълник.

\begin{aligned} {Обем}_{триъгълна призма} & = ({Лице}_{триъгълник}) \cdot (височина) \\ = (\frac{1}{2} (основа на триъгълника) (височина на триъгълника)) \cdot (височина на призмата) \\ = \frac{1}{2} b h ℓ \end{aligned}

Цилиндър

Кръгов цилиндър наричаме подобно на призма тяло, чиято основа е с форма на кръг.

\begin{aligned} {Обем}_{кръгов цилиндър} & = ({Лице}_{кръг}) \cdot (височина) \\ = (π \cdot (радиус)^{2}) \cdot (височина) \\ = π r^{2} h \end{aligned}

Наклонена призма

В наклонената призма основите лежат в успоредни равнини,

Изчисляваме обема по съвсем същия начин съгласно принципа на Кавалиери.

Кой израз дава обема на наклонената правоъгълна призма?

Пирамиди и подобни на пирамиди тела

{Обем}_{пирамида} = \frac{1}{3} (лице на основата) \cdot (височина)

Височината на пирамидата също измерваме перпендикулярно на равнината на основата. Съгласно принципа на Кавалиери същата формула за обем може да се използва и за права пирамида, и за наклонена пирамида.

Правоъгълна пирамида

Правоъгълната пирамида има основа с форма на правоъгълник.

\begin{aligned} {Обем}_{правоъгълна пирамида} & = \frac{1}{3} ({Лице}_{правоъгълник}) \cdot (височина) \\ = \frac{1}{3} ((дължина на правоъгълника) (широчина на правоъгълника)) \cdot (височина на пирамидата) \\ = \frac{1}{3} l w h \end{aligned}

Конус

Кръгов конус наричаме подобно на пирамида тяло, чиято основа е с форма на кръг.

\begin{aligned} {Обем}_{кръгов конус} & = \frac{1}{3} ({Лице}_{кръг}) \cdot (височина) \\ = \frac{1}{3} (π \cdot (радиус)^{2}) \cdot (височина) \\ = \frac{1}{3} π r^{2} h \end{aligned}

Сфера

{Обем}_{сфера} = \frac{4}{3} π (радиус)^{3}

[Откъде идва тази формула?]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.