Тригонометрични отношения в правоъгълни триъгълници

Хайде да направим още много примери, за да сме сигурни, че добре разбираме тригонометричната функция. Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника. Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника, като искам добре да поясня... Начинът, по който дотук дефинирах това, работи единствено при правоъгълни триъгълници. Ако се опитваш да намериш тригонометричните функции на ъгли, които не са част от правоъгълни триъгълници, ще видиш, че ще трябва да построим правоъгълни триъгълници, но засега нека се фокусираме единствено върху правоъгълните триъгълници. Да кажем, че имам един триъгълник, при който дължината тук долу е 7, а дължината на тази страна тук горе е, да кажем, 4. Нека намерим каква ще е хипотенузата ни. Наричаме хипотенузата h – знаем, че h на квадрат ще е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат, като знаем това от теоремата на Питагор, която гласи, че хипотенузата на квадрат е равна на корен квадратен от всяка от сумите на квадратите на другите две страни. h на квадрат е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат. Това е равно на 49 плюс 16, 49 плюс 16, 49 плюс 10 е 59, плюс 6 е 65. Това е 65. Това е h на квадрат, нека запиша: h на квадрат – това е различен нюанс на жълто – h на квадрат е равно на 65. Правилно ли е? 49 плюс 10 е 59, плюс още 6 е 65 или можем да кажем, че h е равно на – ако вземем корен квадратен от двете страни – корен квадратен от 65. И изобщо не можем да опростим това. Това е 13. Това е същото като 13 по 5, като и двете от тези не са точни квадрати и са прости числа, така че повече не можем да опростим това. Това е равно на корен квадратен от 65. Нека намерим тригонометричните функции за този ъгъл ето тук. Нека наречем този ъгъл тита. Когато правиш това, винаги записвай – поне за мен е по-добре да си записвам – "сох ках тоа" ("soh cah toa"). сох (soh)... ...сох ках тоа (soh cah toa). Смътно си спомням учителя си по тригонометрия. Може би съм го чел в някоя книга. Нещо за някаква индианска принцеса наречена Сох Ках Тоа (soh cah toa) или нещо такова, но е много полезна мнемоника, така че можем да приложим "сох ках тоа" (soh cah toa). Да кажем, че искаме да намерим косинуса. Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл. Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл и си казваш: "Сох ках тоа!" Трябва ни "ках". "Ках" ни казва какво да правим с косинуса, частта "ках" ни казва че косинусът е прилежащият върху хипотенузата. Косинусът е равен на прилежащия катет върху хипотенузата. Нека погледнем тита; коя страна е прилежаща? Знаем, че хипотенузата е тази страна ето тук. Така че не може да е тя. Единствената друга страна, която е прилежаща към това и не е хипотенузата, това е тази, която е 4. Прилежащата страна тук, ето тази страна, буквално е точно до ъгъла, тя е една от страните, която оформя ъгъла. Това е 4 върху хипотенузата. Вече знаем, че хипотенузата е корен квадратен от 65. Тоест, това е 4 върху корен квадратен от 65. Понякога хората ще искат от теб да рационализираш знаменателя, което означава, че не искат да има ирационално число в знаменателя като например корен квадратен от 65, и ако искаш да преобразуваш това без ирационално число в знаменателя, можеш да умножиш числителя и знаменателя по корен квадратен от 65. Това очевидно няма да промени числото, понеже го умножаваме по нещо върху себе си, тоест, умножаваме числото по едно. Това няма да промени числото, но поне ни избавя от ирационалното число в знаменателя. Числителят става 4 по корен квадратен от 65, а знаменателят, корен квадратен от 65 по корен квадратен от 65, това просто ще е 65. Не се отървахме от ирационалното число, то все още е тук, но сега е в числителя. Нека направим другите тригонометрични функции или поне другите най-важни тригонометрични функции. В бъдеще ще научим, че всъщност има още множество от тях, но те произлизат от тези. Нека помислим какъв е знакът на тита. Отново, погледни "сох ках тоа". "Сох" ти казва какво да направиш със синуса. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата. Синусът е равен на противоположната страна върху хипотенузата. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата? Коя страна е противоположна за този ъгъл? Просто погледни в противоположна посока, той е противоположен на седмицата, така че противоположната страна е 7. Това тук е противоположната страна и това е хипотенузата; противоположната страна върху хипотенузата. Хипотенузата е корен квадратен от 65. Корен квадратен от 65. Отново, ако искаме да рационализираме това, можем да умножим по корен квадратен от 65 върху корен квадратен от 65, като в числителя ще получим 7 пъти корен квадратен от 65, а в знаменателя просто отново ще получим 65. Нека направим тангенса! Нека изчислим тангенса. Ако искам да откриеш тангенса на тита, отново погледни към "сох ках тоа". Частта "тоа" ти казва какво да направиш с тангенса, казва ни... казва ни, че тангенсът е равен на отсрещната страна върху прилежащата, равен е на противоположната страна върху прилежащата. Коя е отсрещната за този ъгъл? Вече открихме това. Тя е 7. Ъгълът се отваря към седмицата. Противоположен е на седмицата. Тоест, това е 7 върху страната, която е прилежаща. Прилежащата страна е тази, която е 4. Тази, която е 4, е прилежаща. Тоест, прилежащата страна е 4, така че това е 7 върху 4 и сме готови. Открихме всички тригонометрични съотношения за тита. Нека направим друг пример. Нека направим още един пример. Ще го направя малко по-точен, понеже сега просто казваме: "какъв е тангенсът на х, тангенсът на тита?" Нека бъдем малко по-точни. Да кажем... Нека нарисувам друг правоъгълен триъгълник, ето го тук. Всичко, с което си имаме работа, ще са правоъгълни триъгълници. Да кажем, че хипотенузата е с дължина от 4. Да кажем, че тази страна тук има дължина от 2 и да кажем, че тази дължина тук ще е 2 по корен квадратен от 3. Можем да се уверим, че това върши работа. Ако имаш тази страна на квадрат – нека запиша това № (2 по корен квадратен от три) на квадрат плюс 2 на квадрат, на колко е равно това? Това е 2. Ще имаш 4 по 2. 4 по 3 плюс 4, а това ще е равно на 12 плюс 4, което е равно на 16, а 16 всъщност е 4 на квадрат. Това е равно на 4 на квадрат, така че изпълнява Питагоровата теорема и, ако помниш нещо от 30-60-90 триъгълниците, което може би изучава по геометрия, може да разпознаеш, че това е триъгълник 30-60-90. Тази страна тук е правият ни ъгъл – трябваше отначало да го начертая така, че да покажа, че това е правоъгълен триъгълник – този ъгъл тук е нашият 30-градусов ъгъл, а този ъгъл тук горе е 60-градусов ъгъл и това е 30-60-90, понеже противоположната на 30 градуса страна е половината от хипотенузата, а страната, противоположна на 60-те градуса, е квадратът на 3 по другата страна, която не е хипотенузата. Като казахме това, няма да... това не е преговор на триъгълниците 30-60-90, въпреки че току-що направих именно това. Нека намерим тригонометричните съотношения за различните ъгли. Да кажем, че някой те попита какъв е синусът на 30 градуса. Помни, 30 градуса е един от ъглите в този триъгълник, но това е приложимо винаги, когато имаш 30-градусов ъгъл и работиш с правоъгълен триъгълник. Ще имаме по-разширени определения в бъдеще, но ако просто кажеш синус на 30 градуса, този ъгъл тук е 30 градуса, така че може да се използва този правоъгълен триъгълник и просто трябва да си спомним "сох ках тоа". Презаписваме го. Сох, ках, тоа. Сох ни казва какво да правим със синуса. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата. Синусът на 30 градуса е противоположната страна, това е тази, която е 2, върху хипотенузата. Тук хипотенузата е 4. Това е 2/4, което е същото като 1/2. Синус на 30 градуса, както ще видиш, винаги ще е равен на 1/2. Какъв е косинусът? Какъв е косинусът на 30 градуса? Отново, връщаме се към "сох, ках, тоа". "Ках" ни казва какво да правим с косинуса. Косинусът е прилежащата страна върху хипотенузата. Прилежащата към 30 градуса е тази тук, точно до ъгъла. Тя не е хипотенузата. Това е прилежащата страна върху хипотенузата. Тоест, 2 корен квадратен от 3 върху хипотенузата...върху 4. Ако опростим това, делим числителя и знаменателя на 2 и получаваме корен квадратен от 3 върху 2. Последно, нека намерим тангенса. Тангенсът на 30 градуса, връщаме се към "сох ках тоа". Сох ках тоа. "Тоа" ни казва какво да правим с тангенса. Той е отсрещната страна върху прилежащата. Отиваш до 30-градусовия ъгъл, понеже той ни интересува, тангенсът на 30 градуса. Отсрещната (противоположната) е 2, а прилежащата е 2 корен квадратен от 2. Тя е точно до него. Тя е прилежаща. Прилежаща означава, че е до него. 2 корен квадратен от 3, тоест, това е равно на...двойките се изключват взаимно – 1 върху корен квадратен от 3. Можем да умножим числителя и знаменателя по корен квадратен от 3. Имаме корен квадратен от 3 върху корен квадратен от 3 и това ще е равно на – числителят ще е равен на корен квадратен от 3, а знаменателят ще е равен просто на 3. Така рационализирахме корен квадратен от 3 върху 3. Добре. Нека използваме същия триъгълник, за да намерим тригонометричните съотношения за 60-те градуса, след като вече го начертахме. Какъв е синусът на 60 градуса? Надявам се, че вече започваш да разбираш. Синусът е отсрещната върху хипотенузата – "сох" от "сох ках тоа". Коя страна е отсрещна на 60-градусовия ъгъл? Той гледа към 2 корен квадратен от 3, тоест, отсрещната страна е 2 корен квадратен от 3 и от 60-градусовия ъгъл... това е отсрещната страна върху хипотенузата. Противоположната страна върху хипотенузата, тоест, 2 корен квадратен от 3 върху 4. Хипотенузата е 4. Това е равно на – това се опростява до корен квадратен от 3 върху 2. Какъв е косинусът на 60 градуса? Помни "сох, ках, тоа". Косинусът е прилежащата върху хипотенузата. Прилежащата е точно до 60-градусовия ъгъл. Той е 2 върху хипотенузата, която е 4. Това е равно на 1/2. Последно, какъв е тангенсът? Какъв е тангенсът на 60 градуса? "Сох, ках, тоа." Тангенсът е отсрещната върху прилежащата. Отсрещната (противоположната) на 60 градуса е 2 корен квадратен от 3. 2 корен квадратен от 3. Прилежащата на този ъгъл е 2. Прилежащата на 60 градуса е 2. Това е отсрещната страна върху прилежащата, 2 корен квадратен от 3 върху 2, което просто е равно на корен квадратен от 3. Просто исках да ти покажа как тези са свързани – синусът на 30 градуса е същият като косинуса на 60 градуса. Косинусът на 30 градуса е същият като синуса на 60 градуса, а тези са обратни едно на друго и ако малко повече помислиш върху този триъгълник, ще видиш защо това е логично. Ще продължаваме да наблягаме на това и ще се упражняваме още в следващите няколко видеа.