Намиране на ъгъл с косинусовата теорема

Да приемем, че изучаваш някакъв малък хълм или скално образувание, разположено ето тук. Можеш да определиш размерите му. Знаеш, че от тази до тази точка по дължината на основата, на земното равнище, е 60 метра. Знаеш, че по-стръмната страна – по-стръмната повърхност или ръб на тази скала, както там искаш да го наречеш, е 20 метра. По-дългата страна тук – по-полегатата страна, е дълга 50 метра. Можеш да измериш тези дължини. Но сега искаш да използваш знанията си по тригонометрия и, с тази информация, да откриеш колко стръмна е тази страна. Какъв е действителният наклон към земната повърхност? Или, казано по друг начин, каква е големината на ъгъл тита ето тук? Съветвам те да спреш видеото на пауза и да помислиш самостоятелно. Може би ти светва една лампичка? Знаеш трите страни в триъгълника и искаш да намериш един ъгъл. Това, което ми хрумва на мен, е да използваме косинусовата теорема. Нека запиша косинусовата теорема, преди да опитаме да я приложим към този триъгълник. Косинусовата теорема ни казва, че 'с' на квадрат е равно на 'а' на квадрат плюс 'b' на квадрат минус 2аb по косинус от тита. Нека да си припомним какво представляват 'а', 'b' и 'с'. 'с' е срещулежащата страна спрямо ъгъл тита. Ако начертаем примерен триъгълник ето тук, и това е нашият ъгъл тита, тогава това определя, че 'с' е тази страна, а 'а' и 'b' могат да бъдат всяка от тези две страни. 'а' може да бъде тази страна, а 'b' – тази. Или обратното. Както виждаш, 'а' и 'b' всъщност имат еднаква роля в тази формула. Това може да е 'b', а това – 'а'. Това, което искаме да направим, е някак да отнесем този ъгъл... Искаме да намерим каква е големината на тита в нашия пример с хълмчето. Ако това е тита, коя страна ще бъде 'с'? 'с' ще бъде тази страна, дълга 20 метра. След това можем да определим всяка от тези като 'а' или 'b'. Можем да приемем, че това 'а' е 50 метра, а 'b' – 60 метра. И можем да приложим косинусовата теорема. Косинусовата теорема ни казва, че това 20 на квадрат е равно на 'а' на квадрат, което е 50 на квадрат, плюс 'b' на квадрат, което е 60 на квадрат, минус 2аb. Минус 2 по 50, по 60, по косинус от тита. Това ни върши идеална работа, защото ни е дадено всичко. Имаме само едно неизвестно – ъгъл тита. Да видим дали можем да намерим тита. 20 на квадрат е равно на 400. 50 на квадрат е равно на 2500. 60 на квадрат е 3600. И после 50 по... Да видим, 2 по 50 е равно на 100, по 60 – това всичкото е равно на 6000. Ако го опростим малко, ще получим 400 е равно на 2500 плюс 3600. Това ще бъде 6100. Това е равно на 6000... Нека да го оцветя с друг цвят. И така, сборът от тези двете е 6100. Правилно ли го изчислих? Да. Става 2000 плюс 3000, плюс 5000. 500 плюс 600 е равно на 1100. Следователно имам 6100 минус 6000 по косинус от тита. Сега можем да извадим 6100 и от двете страни. Ще извадя 6100 и от двете страни, за да стигна до отделянето на тита. Да го направим. Това ще бъде -5700. Нали? 5700 плюс... Да, правилно. Правилно, защото, ако беше обратното, ако беше 6100 минус 400, щеше да е 5700 със знак плюс. Добре. А тези двете, разбира се, се съкращават. И това става равно на -6000 по косинус от тита. Сега можем да разделим и двете страни на -6000. И получаваме... Ще обърна страните. Получаваме косинус от тита е равно на... Да видим дали можем да разделим числителя и знаменателя на -100. Тогава и двете ще станат с положителен знак. Косинус от тита е равен на 57 върху 60. Всъщност това може да се опрости още. 3 влиза в 57 колко – 19 пъти? Да, следователно... Още може да се опрости. Равно е на 19 върху 20. Всъщност не беше нужно да правим това опростяване, тъй като ще използваме калкулатори, но това прави математиката по-интересна. Да, 3 влиза в 57 точно 19 пъти. А сега можем да вземем обратния косинус и на двете страни. И ще получим, че тита е равно на обратен косинус, или аркускосинус, от 19 върху 20. Да извадим калкулатора и да видим дали ще получим нещо смислено. Искаме да намерим обратен косинус от 19 върху 20. Заслужаваме поздравления. Получаваме 18,19 градуса. Вече се уверих, че калкулаторът ми е настроен на градуси. Така че имаме 18,19 градуса. Ако искаме да закръглим, това е приблизително равно на 18,2 градуса, ако закръгляме до най-близката десета. Това наистина дава смислен отговор на въпроса колко стръмен е този наклон.