Намиране на ъгъл със синусовата теорема

Представи си, че пускаш хвърчила с приятел и точно в този момент двамата се намирате на 40 метра разстояние един от друг. Знаеш, че дължината на въжето на хвърчилото е 30 метра, и измерваш ъгъла между хвърчилото и мястото на земята, на което стоиш, и виждаш, че това е ъгъл от 40 градуса. Любопитно ти е дали можеш да използваш знанията си по тригонометрия, за да намериш ъгъла между въжето и земната повърхност. Съветвам те да спреш видеото на пауза и да видиш дали можеш да го направиш, като използваш само информацията, която имаш. Когато видя триъгълник, който не е правоъгълен, и се опитвам да намеря дължини на страни или мерки на ъгли, веднага ми хрумва, че косинусовата теорема или синусовата теорема могат да ми помогнат. Нека помислим коя би била подходяща в този случай. Ще запиша косинусовата теорема. Според косинусовата теорема 'с' на квадрат е равно на 'а' на квадрат плюс 'b' на квадрат минус 2аb по косинус от тита. С нея намираме отношението на трите страни в триъгълника – 'a', 'b' и 'c' към даден ъгъл. Например, ако начертаем две страни и ъгъла между тях, можем да намерим третата страна. Или ако знаем и трите страни, можем да намерим този ъгъл. Но не такава е ситуацията, която имаме тук. Искаме да открием отговора на тази въпросителна тук, но не знаем трите страни. Искаме да намерим един от ъглите, но не знаем трите страни. Косинусовата теорема едва ли ще ни помогне, поне не и на пръв поглед. Мога да се опитам да намеря този ъгъл – но отново не знаем трите страни, за да можем да го намерим. Може би синусовата теорема ще е подходяща. Синусовата теорема. Да приемем, че мярката на този ъгъл е 'а', мярката на този ъгъл е малко 'b', а мярката на този ъгъл е малко 'с'; дължината на тази страна е голямо С, дължината на тази страна е голямо А, а дължината на тази страна е голямо В. Синусовата теорема ни казва, че отношението между синуса на всеки един от тези ъгли и дължината на неговата срещулежаща страна е постоянна величина. Следователно синус от малко 'а' върху голямо А е равен на малко 'b' върху голямо B, което ще бъде равно на малко 'с' върху голямо С. Да видим дали можем да го приложим ето тук. Знаем този ъгъл и срещуположната страна, значи можем да напишем отношението: синус от 40 градуса върху 30. Да видим. Можем ли да кажем, че това ще бъде равно на синус от този ъгъл върху това? Да, ще бъде, но не знаем нито един от тези ъгли, затова това едва ли ще ни помогне. Но знаем тази страна. Вероятно можем да използваме косинусовата теорема, за да намерим този ъгъл, защото, ако знаем два от ъглите в триъгълника, можем да намерим третия ъгъл. Хайде да го направим. Да приемем, че ето този ъгъл е тита. Знаем, че това разстояние тук е 40 метра, следователно можем да кажем, че синус от тита върху 40 ще бъде равно на синус от 40 върху 30. Сега можем да намерим тита. Ако умножим и двете страни по 40, ще получим... Да видим. 40, делено на 30, е равно на 4/3. 4/3 по синус от 40 градуса е равно на синус от тита, е равно на синус от тита. За да намерим тита, трябва да вземем обратен синус на двете страни. Обратен синус от 4 върху 3 по синус от 40 градуса – да сложим скоби тук – е равно на тита. Това ще ни даде този ъгъл тук и можем да използваме тази и тази информация, за да намерим ъгъла, който наистина ни интересува. Хайде да извадим калкулатора и да видим дали можем да го изчислим. Нека се уверя, че работя в градуси. Много важно. Добре, сега ще взема обратен синус от 4/3 по синус от 40 градуса и това ми дава – заслужавам поне малко аплодисменти – 58... Ако закръгля до най-близкото... Нека сме точни. Груба сметка 58,99 градуса. Приблизително е равно на 58,99 градуса. Ако това е 58,99 градуса, колко е това? Това ще бъде 180 минус мярката на този ъгъл Хайде да го изчислим. Ще бъде 180 градуса минус този ъгъл, следователно минус 40, минус ъгъла, който току-що намерихме. Всъщност можем да сме още по-точни, като запишем втори отговор. Тук ни е даден предишният отговор, Ако го изчислим напълно точно, получаваме 81,01 градуса. Ако искам да закръгля, да кажем, до най-близката стотна на градуса, тогава ще имам 81,01 градуса. Следователно това тук е приблизително 81,01 градуса и сме готови.