Синус и косинус на ъгли, допълващи се до 90 градуса

Виждаме или знаем, че в един триъгълник има три ъгъла. Ако говорим за правоъгълен триъгълник като този, който начертах, единият от тях ще бъде прав ъгъл. Остава ни да разгледаме още два ъгъла. В това видео искам да разгледам отношението между синуса на единия от тези ъгли и косинуса на другия; или на косинуса на единия от тях и синуса на другия. За тази цел нека приемем, че този ъгъл – можем да го наречем ъгъл А – е равен на тита. Ако той е равен на тита, ако мярката му е равна на тита градуса, каква ще бъде мярката на ъгъл В? Това, за което веднага се сещаме и което сме разглеждали и в други задачи, е, че сборът от ъглите в един триъгълник ще бъде равен на 180 градуса. А този тук е правоъгълен триъгълник. Неговият прав ъгъл заема 90 от тези 180 градуса. Остават 90 градуса. Следователно сборът от тези двата ще бъде 90 градуса. Тези двата – ъгъл А и ъгъл В ще бъдат взаимно допълващи се ъгли. Те ще бъдат допълващи се ъгли. Или, казано по друг начин, В ще бъде равен на 90 минус тита. Ако добавим тита към 90 минус тита, ще получим 90 градуса. Защо това е интересно? Нека помислим на колко е равен синус от тита. Синусът е равен на срещулежащия катет към хипотенузата. Срещулежащият катет е ВС. Имаме дължината на ВС върху хипотенузата. Хипотенузата е страната АВ. Дължината на ВС върху дължината на АВ. Върху дължината на AB. А какво ще бъде отношението, ако погледнем ето този ъгъл? За ъгъл В страната ВС е прилежащият катет, а АВ е хипотенузата. От гледна точка на ъгъл В това е прилежащият катет върху хипотенузата. Това кое тригонометрично отношение е? Това е косинус. Нека да го запиша. Синус е срещулежащ към хипотенуза. Виждаме го тук. Косинус е прилежащ към хипотенуза. А тангенс е срещулежащ към прилежащ. От гледната точка на този ъгъл, ако вземем дължината на ВС, ВС е прилежащият катет, а хипотенузата си остава АВ. От гледна точка на този ъгъл, това е прилежащ върху хипотенуза. Казано по друг начин, това е косинус на този ъгъл. Следователно това ще бъде равно на косинус от 90 градуса минус тита. Много хубаво отношение. Синус от един ъгъл е равен на косинус от допълващия го. Следователно можем да кажем, че синус от... Можем да вземем всеки един ъгъл – например синус от 60 градуса ще бъде равен на косинус от кое? Съветвам те да спреш видеото на пауза и да помислиш. Ще бъде равен на косинус от 90 минус 60. Ще бъде косинус от 30 градуса. 30 плюс 60 прави 90. Разбира се, можем да направим и обратното. Можем да потърсим косинус от тита. Косинус от тита ще бъде равен на прилежащия към тита, към ъгъл А, катет... Прилежащият катет е ето този. Това е АС. Следователно ще имаме АС върху хипотенузата – прилежащ върху хипотенуза. Хипотенузата е АВ. Но какво е отношението от гледна точка на ъгъл В? Синус от ъгъл В ще бъде равен на срещулежащия катет АС към хипотенузата АВ. Следователно от гледна точка на ъгъл В, това е синус от ъгъл В. Следователно това е равно на синус от 90 градуса минус тита. Следователно косинус от ъгъл е равен на синус от допълващия го. Синус от ъгъл е равен на косинус от допълващия го.