Въведение към теоремата за ъглополовящата

Първо искам просто да ти покажа каква е теоремата за ъглополовящите и след това всъщност да я докажем за себе си. Тук имам един произволен триъгълник. Триъгълник ABC. И това, което ще направя, е да начертая ъглополовящата на този ъгъл тук горе. Можем да го направим с всеки от трите ъгли, но аз ще направя само този. Това ще направи нашето доказателство малко по-лесно. Аз просто ще разполовя този ъгъл, ъгъл ABC. Нека просто кажем, че това е ъглополовящата на ъгъл ABC. Този ъгъл тук е равен на този ъгъл ето тук. Ще нарека тази точка тук долу точка D. Теоремата за ъглополовящата ни казва, че отношението между страните, които не са тази ъглополовяща... когато поставя ъглополовяща на този ъгъл тук, тя създава два по-малки триъгълника, извън този големия. Теоремата на ъглополовящата ни казва, че отношението между другите страни на тези два триъгълника, които създаваме сега, ще бъде еднакво. Тя ни казва, че отношението на AB към AD е равно на отношението на BC към CD. И така, отношението на... ще го означа цветово, това, което е това, към това, ще бъде равно на отношението на това – което е това – към това ето тук, към CD – което е това тук. Това е един вид... след като видиш, че отношението на това към това, е равно на отношението на това към това, това е в известен смисъл интересен резултат. Но не можеш просто да го приемеш на доверие, защото е интересен резултат! Искаш да го докажеш за себе си, така че, може да си представиш тук, че имаме установено някакво отношение. Така че ще го докажем с помощта на подобни триъгълници и за съжаление – тези два триъгълника тук – не са непременно подобни! Не можем наистина... Знаем, че тези два ъгъла са равни един на друг. Но не знаем дали този ъгъл е равен на този ъгъл или това... не знаем, не можем да направим никакви такива заключения. За да потвърдим всъщност този тип твърдение, ще трябва да построим може би друг триъгълник, който ще бъде подобен на един от тези ето тук. И един от начините да го направим ще бъде да начертаем друга права. И това е малко... това доказателство не беше очевидно за мен първия път, когато разсъждавах върху него, така че не се безпокой, ако не е очевидно и за теб. Какво се случва, ако можем да продължим тази ъглополовяща, тази ъглополовяща ето тук? Така че нека просто я продължим. Тя просто продължава, и продължава, и продължава, и нека също... може би можем да построим подобен триъгълник на този триъгълник тук. Ако начертаем права, която е успоредна на AB тук долу. Нека се опитаме да направим това. Само ще кажа, разбираш, че винаги можеш да намериш, ако C не е на AB, винаги можеш да намериш точка, която минава през, или права, която минава през C, която е успоредна на AB. Така че нека, по дефиниция, нека просто построим друга права ето тук. И нека наречем тази точка ето тук F. И нека просто изберем тази права по такъв начин, че FC да е успоредна на AB. Така че това е успоредно на това там, FC е успоредна на AB. И ние можем просто да я построим по този начин. И сега имаме някои интересни неща. Построихме правата по този начин, за да можем да получим тези два триъгълника подобни един на друг. Нека видим какво се случва. Преди дори да помислим за подобие, нека помислим за някои от ъглите или какво знаем за някои от ъглите тук. Знаем, че имаме вътрешни кръстни ъгли. Така че нека помислим върху тези две успоредни прави. Мога да си представя, че AB продължава така, FC продължава така и права BD тук ги пресича. Тогава независимо какъв е този ъгъл, този ъгъл ще бъде също от вътрешните кръстни ъгли, за които сме говорили много, когато за пръв път говорихме за ъгли при пресичане на две прави с трета. Така че тези два ъгъла ще бъдат еднакви, но този ъгъл и този ъгъл ще бъдат също еднакви, защото този ъгъл и този ъгъл са еднакви. Това е ъглополовяща и от това следва, че този ъгъл ABD е еднакъв с ъгъл DBC. Така че, без значение какъв е този ъгъл, този ъгъл и този ъгъл, това ни дава един вид интересен резултат, защото тук имаме ситуация, при която, ако разгледаме този по-големия триъгълник, BFC - имаме два ъгъла при основата, които са еднакви, което означава, че това трябва да бъде равнобедрен триъгълник. Така че BC трябва да бъде същото като FC. И така, това беше в известна степен интересно. Ние просто използвахме пресичащата права и вътрешните кръстни ъгли, за да покажем, че тези са равнобедрени и че BC и FC са едно и също нещо. И това може да бъде полезно, защото знаем, че искаме, имаме усещането, че този триъгълник и този триъгълник ще бъдат подобни. Не сме го доказали все още, но как ще ни помогне това, да получим нещо за BC тук? Ние току-що показахме, че BC и FC са едно и също нещо. Така че това ще бъде същото нещо, което искаме да докажем. И ако можем да докажем, че FC - отношението на AB към AD е равно на отношението на FC към CD, ще сме го доказали, защото BC - току-що показахме - е равно на FC. Но нека не започваме с теоремата, нека всъщност да стигнем до теоремата. И така, FC е успоредна на AB. Бяхме в състояние да установим този равнобедрен триъгълник, да покажем, че тези страни са равни. Сега нека разгледаме някои от другите ъгли тук - и след това ще се почувстваме добре относно това. Имаме че... ако погледнем триъгълник ABD, този триъгълник тук, и триъгълник FDC, вече установихме, че те имат еднакъв набор от ъгли, които са еднакви. И след това те също и двата – ABD има този ъгъл ето тук, който е връхен ъгъл с този ето тук. Така че те са равни. И ние знаем, че ако два триъгълника имат два ъгъла, които са еднакви, всъщност третият ще бъде еднакъв също. Или може да кажете чрез принципа ъгъл-ъгъл за подобие, че тези два триъгълника са подобни. Така че нека напиша това отдолу. Искаш да се уверим, че вземаме съответните страни, нали? Сега знаем от ъгъл-ъгъл и аз ще започна от зеления ъгъл, че триъгълник B - и след това синия ъгъл - BDA е подобен на триъгълник... И така, още веднъж, нека започнем със зеления ъгъл - F, след това отиваме към синия ъгъл FDC. И тук искаме евентуално да получим теоремата на ъглополовящата. Така че искаме да разгледаме отношението между AB и AD - подобни триъгълници - независимо дали можеш да намериш отношението между съответните страни, ще бъде едно и също при подобни триъгълници. Или може да намериш отношението между две страни от подобния триъгълник и да ги съпоставиш към отношението на същите двете съответни страни на другия подобен триъгълник. И те трябва да са еднакви. И така, при подобни триъгълници знаем, че отношението от AB - и това между другото беше чрез подобие ъгъл-ъгъл. Искам да запиша това отдолу. И така, сега като знаем, че те са подобни, знаем, че отношението на AB към AD ще бъде равно на... и ние дори можем да потърсим тук съответни страни. Отношението на AB - съответната страна ще бъде CF - ще бъде равно на CF върху AD. AD е същото нещо като CD - върху CD. И така знаем, че съотношението на AB върху AD е равно на CF върху CD. Но ние току-що доказахме на себе си, тъй като това е равнобедрен триъгълник, че CF е същото нещо като BC ето тук. Така че CF е същото нещо като BC. И след това сме готови! Ние току-що доказахме, че AB върху AD е равно на BC върху CD. Така че, има в известен смисъл две неща, които трябва да направим тук. Първото - да построим този друг триъгълник, който ни позволи да предположим, че това е успоредна, която ни дава две неща. Това ни дава друг ъгъл, за да покажем, че те са подобни, и също ни позволява да установим - извинете, имам... нещо ми заседна в гърлото... И така, в състояние сме да използваме - построявайки този триъгълник тук, сме в състояние да покажем, че той е подобен, и да построим този голям равнобедрен триъгълник, за да покажем - вижте, ако не можем да открием съотношението между две страни на този триъгълник, и този, тогава това ще бъде съотношението на тази - ако можем да намерим отношението на тази страна към тази страна. То е същото като отношението на тази страна към тази страна. Това е подобно на показването, че отношението на тази страна към тази страна е едно и също като BC към CD. И сме готови.