Определяне на подобни триъгълници

В това видео искам да видим дали можем да намерим подобни триъгълници, и да докажем за себе си, че те действително са подобни, като използваме някои от признаците, които знаем. Тук имам триъгълник BDC, който е вътре в триъгълник АЕС. Те двата имат един общ ъгъл. Тук имаме един общ ъгъл. Трябва да са налице два равни ъгъла, за да имаме подобие. И знаем, че тези две прави са успоредни. Ако две прави са успоредни, тогава е налице трета, която ги пресича. Тези съответни ъгли ще са и еднакви. Така че този ъгъл ще съответства на онзи ъгъл там. И сме готови. Имаме един ъгъл в триъгълник АЕС, който е равен на друг ъгъл в триъгълник BDC. И тогава имаме този ъгъл, който очевидно е равен на себе си. Така е в двата триъгълника. Двата триъгълника съдържат двойка съответни ъгли, които са еднакви. Така че триъгълниците трябва да са подобни. И можем да запишем, че триъгълник АСЕ, ще е подобен на триъгълник... Искаме буквите да са в правилния ред. Т.е. където се намира оцветеният в синьо ъгъл, синият ъгъл там, е връх В. Ще отидем на оцветените в бяло ъгли С и тогава отиваме на неопределения ъгъл там, ВCD, B, C, D. И с първия сме готови. Нека сега отидем на този тук. Той е нещо подобно, но изглежда съмнителен само като го погледнем. YZ определено не е успоредна на ST. Така че няма да можем да приложим довода за съответни ъгли. Добре, особено като не съм и означил тази успоредност. Не искаме да гледаме на нещата само по начина, по който изглеждат. Определено на човек му се иска да знае какво е дадено и какво не е дадено. Тези прави не е посочено да са успоредни, не бихме могли да направим това твърдение. Макар и да изглеждат успоредни, това, с което разполагаме е този ъгъл тук, който е общ за триъгълника вътре и за този отвън. Имаме дадени и няколко страни. Може би можем да използваме признака страна - ъгъл - страна. Това означава, че ако можем да покажем отношението на двете прилежащи страни на този ъгъл, ако те имат едно и също отношение между по-малкия триъгълник и по-големия триъгълник. Тогава можем да покажем, че е налице подобие. Така че нека започнем, трябва да отидем на другото рамо на този ъгъл, ето тук. Нека погледнем по-късото рамо на този ъгъл. То е с дължина 2; нека погледнем и по-късото рамо, другото рамо на ъгъла в по-големия триъгълник. И нека погледнем по-късата страна отдясно. Тя ще има... това ще е ХТ. Така, искаме да сравним отношението между... ето тук, искаме да видим дали ХY/ХТ , дали това е равно на отношението при по-дългата страна, или ако гледаме откъм този ъгъл, по-дългата страна от двете, извинявам се, най-дългата страна в триъгълника, макар че тя също изглежда така. Това равно ли е на отношението на XZ, върху по-дългата от двете страни; когато гледаме този ъгъл тук, от двойката рамене на този ъгъл, при по-големия триъгълник, върху XS. Малко е объркващо, понеже сме обърнали страните. Но имам предвид по-късата страна от двете страни на този ъгъл и между тях, и след това по-дългото рамо на този ъгъл. Така че това са по-късата страна на по-малкия триъгълник, и на по-големия триъгълник. Това са по-дългите страни на по-малкия триъгълник, и на по-големия триъгълник. И виждаме, че XY е 2. XT е 3 + 1, т.е. 4, XZ е 3 и XS е 6. Оттук имаме 2/4, което е 1/2, което е равно и на 3/6. Така че отношението между по-късите страни от прилежащите на ъгъла; и по-дългите страни от двете прилежащи на ъгъла за двата триъгълника, отношенията са равни, така че от признака страна - ъгъл - страна знаем, че двата триъгълника са подобни един на друг. Но трябва да внимаваме как определяме триъгълниците. Искаме да се уверим, че използваме съответните страни. Можем да кажем, че триъгълника... тук ми свършва мястото, нека напиша тук горе. Можем да напишем, че триъгълник XYZ е подобен на триъгълник... започнахме от Х, което е върхът на ъгъла. И най-напред отидохме на по-късата страна. Сега искаме да започнем от Х и да отидем на по-късата страна при големия триъгълник. Така че имаме, отиваме на XTS, XYZ е подобен на XTS. Нека сега погледнем тук, в нашия по-голям триъгълник тук имаме прав ъгъл. Но в интерес на истината не знаем нищо за това какво става с всеки от тези по-малките триъгълници, по отношение на ъглите им. Знаем, че този ъгъл изглежда прав. Но не можем да го приемем. Този триъгълник, ако погледнем този по-малък триъгълник тук, той има една обща страна с по-големия триъгълник. Но това не е достатъчно да правим каквото и да е. И тогава този триъгълник тук също има една обща страна, но и това не помага по никакъв начин. Така че не можем да твърдим нищо тук, дали е налице някаква подобност. Един вид тук няма никаква подобност. Ако ни е дадено... ... има някакви общи ъгли. Този ъгъл за двата триъгълника е общ, за по-големия триъгълник и за по-малкия триъгълник. Така че може да се установи подобност. Ако знаем, че този ъгъл със сигурност е прав, тогава можем по интересен начин да установим наличие на подобност. Но в момента реално не можем да го направим, не можем да направим нищо. Нека опитаме тук при тази двойка. Това са първите случаи, в които всъщност разделихме триъгълниците. Дадени са ни по три страни на двата триъгълника, така че нека намерим отношенията между съответните страни, те са константа. Нека започнем с най-късата страна. Най-късата страна тук е 3, а тук е 9 по корен квадратен от 3, така че търсим отношението 3/9 по корен от 3 дали е еднакво с отношенията на другите страни. Другата по-дълга страна тук е 3 по корен квадратен от 3, върху следващата по-дълга страна тук, която е 27. И тогава нека видим дали това ще е равно на отношението между най-дългата страна, така, най-дългата страна тук е 6, и тогава най-дългата страна тук е 18 по квадратен корен от 3. И така ще имаме, да видим, това е 3. Това е 8, нека тук използвам неутрален цвят. Така, 3... можем, тук се получава 1/3. Това пък излиза 1 по корен от 3, върху 9... сякаш е различно число. Но тук искаме да внимаваме. И това тук се получава, това е, ако разделим числителя и знаменателя на 6, това става 1, а това е 3 по корен от 3. Така че получаваме 1 върху 3 по корен от 3, трябва да е равно на корен от 3 върху 9, което трябва да е равно на 1 върху 3 по корен от 3. На пръв поглед не изглеждат равни. Но тук можем всъщност да рационализираме знаменателя. Можем да покажем, че 1 върху 3 по корен от 3, ако го умножим по корен от 3 върху корен от 3, това всъщност ще даде в числителя корен от 3 върху... корен от 3 по корен от 3 е 3, по 3 е 9. Така че тези всичките са равни. Което всъщност ни казва, че 1/(3 по корен от 3), което е равно корен от 3 върху 9, което е равно на това тук, което на свой ред е равно на 1/(3 по корен от 3). Така че всъщност това са подобни триъгълници. Всъщност определяме ги така, нека се уверя, че всичко е в правилния ред. Така че нека започнем с т. Е, която е между синята и червената страна. Тази точка е между синята и червената страна. Тази тук е Н. Така триъгълник Е, ще го отбележа така, триъгълник Е, продължавам със синята страна, F, след това продължавам по синята страна тук, нека го направя така. Всъщност нека запиша така. Триъгълник EFG, знаем, че е подобен на триъгълник... Е е между синята и червената страна, синята и червената страна, това е Н. След това вървим по синята страна към F. Сетне по синята страна към I. И после вървим по оранжевата страна към G. След това по оранжевата към J. И така триъгълник E F G е подобен на триъгълник H I J, подобност по признака страна - страна - страна. Това не са еднакви страни. Те са с едно и също отношение, или еднакъв коефициент на нарастване. Нека сега видим този последния тук. Имаме, да видим, имаме ъгъл, който е еднакъв с един друг ъгъл тук. И имаме две страни, така че може да се изкушим да използваме признака "страна-ъгъл-страна", понеже тук е налице такава зависимост. Дори и отношенията изглеждат малко изкушаващи, защото 4 по 2 е 8, 5 по 2 е 10, но това е подвеждащо, защото това не са едни и същи съответни страни. За да използваме признака "страна-ъгъл-страна", двете страни, които имат еднакви отношения, трябва да са от двете страни на ъгъла, в този случай не са от двете страни на ъгъла. В този случай четворките са от едната страна на ъгъла, но петицата не е, петицата не е така. Ако това 5 беше тук, тогава можем да използваме признака за подобие. Но тази петица не е от другата страна на ъгъла, не е рамо на ъгъла заедно с четворката. Не можем да използваме признака "страна-ъгъл-страна", и откровено казано тук не можем да направим нищо. Така че в последния пример не можем да направим определено твърдение относно подобност.