Доказване, че наклонът е постоянен чрез използване на подобие

Свикнали сме да ни казват в часовете по алгебра, че ако имаме една права, за тази права отношението на промяната на у към промяната на х е константа. Или друг начин да мислим за това е, че правата ще има постоянен наклон, или постоянен ъглов коефициент. А наклонът е буквално определен като изменението на у – този триъгълник е гръцката буква делта. Той е съкращение за "изменение на". Той означава изменението на у - делта у означава изменението на у - върху изменението в х. И ако си имаш работа с права, това отношение е постоянно за дадена права. В това видео искам да докажа този факт, използвайки подобни триъгълници от геометрията. Нека помислим за 2 множества от по 2 точки. Нека кажем, че това тук е една точка. Нека я направя в различен цвят. Нека започна от тази точка. И нека завърша при тази точка. Каква е промяната на х между тези 2 точки? х-стойността на тази точка е ето тук. х-стойността на тази точка е точно ето тук. Така че, промяната на х ще бъде ето това там. А каква е промяната на у? у-стойността на тази точка е точно тук. у-стойността на тази точка е ето тук. Така че тази височина или тази височина е изменението на у. Това е изменението ни на у. Сега да разгледаме други 2 точки. Нека кажем, че имам тази точка и тази точка тук. И нека направим същото упражнение. Какво е изменението на х? Нека видим. х-стойността на тази точка е тук. х-стойността на тази точка е тук. Ако тръгнем от тук и отидем до тук, това ще бъде промяната в х между тази точка и тази точка. И това ще бъде изменението... нека направя това в същия зелен цвят. Това ще бъде изменението на х между онези две точки. Изменението на у, тази стойност на у е тук. Тази стойност на у е тук горе. Така че, изменението на у ще бъде това тук. И така, това което трябва да ти покажа... просто избирам 2 произволни точки. Трябва да покажа, че отношението на това изменение на у към това изменение на х, ще бъде същото като отношението на това изменение на у към това изменение на х. Или отношението на тази лилава страна към тази зелена страна ще бъде същото като отношението на тази лилава страна към тази зелена страна. Запомни, аз просто избирам 2 множества от произволни точки тук. И начина, по който ще го покажа е чрез подобие. Ако мога да покажа, че този триъгълник е подобен на този триъгълник, тогава сме готови с всичко. И само като напомняне какво е подобие, 2 триъгълника са подобни - и има множество начини да мислиш за това – ако и само ако всичко съответства – или би трябвало да кажа, всичките три ъгли са еднакви, или са равни. И така, всички три... И нека внимавам тук. Не е необходимо да бъдат точно същия ъгъл. Съответните ъгли трябва да бъдат еднакви. И така съответните... винаги го бъркам... съответните ъгли трябва да бъдат равни. Или можем да кажем, че те са сходни. Например, ако имам този триъгълник ето тук. И това е 30, това е 60, а това е 90. И след това имам този триъгълник тук. Ще се опитам да го начертая... имам този триъгълник, където това е 30 градуса, това е 60 градуса, а това е 90 градуса. Дори и техните страни да са с различна дължина, това ще бъдат подобни триъгълници. Те по същество са съизмерими версии един на друг. Всички съответни ъгли - 60 съответства на това 60, 30 съответства на това 30, и 90 съответства на този. Така че тези два триъгълника са подобни. И това, което е ясно за подобните триъгълници е, че ако установиш, че два триъгълника са подобни, тогава отношението между съответните страни ще бъде едно и също. Така че, ако тези двата са подобни, тогава отношението на тази страна към тази страна ще бъде същото като отношението на... нека направя това в розово... тази страна към тази страна. И така можеш да видиш, защо това ще бъде полезно при доказването, че наклонът е постоянен тук, защото всичко, което трябва да направим е вижте - Ако тези 2 триъгълника са подобни, тогава отношението между съответните страни винаги ще бъде едно и също. Избрахме два произволни двойки точки. Тогава това ще важи наистина за всеки две произволни множества от точки на правата. Това ще важи за цялата права. И така, нека се опитаме да докажем подобието. Първото нещо, което знаем е, че и двата от тези са правоъгълни триъгълници. Тези зелени прави са напълно хоризонтални. Тези лилави прави са напълно вертикални, защото зелените прави буквално отиват в хоризонталната посока. Лилавите прави отиват във вертикалната посока. И така, нека се убедя, че сме отбелязали това. Знаем, че тези двата са прави ъгли. Така че имаме един съответен ъгъл, който е еднакъв. Сега трябва да покажем, че другите са. И ние можем да покажем, че другите са, използвайки нашите знания за успоредни прави, пресечени с трета. Нека разгледаме тези две зелени прави. Аз ще ги продължа. Това са части от правата, но ако ги разглеждаме като прави и просто ги продължим, още и още и още. Нека направя това, просто като тук. Тази права е определено успоредна на тази. Те по същество са напълно хоризонтални. И сега можеш да разглеждаш оранжевата права като пресечна. И ако я разглеждаш като пресечна, тогава знаеш, че този ъгъл съответства на този ъгъл. И ние знаем, че при пресичане на успоредни прави с трета, че съответните ъгли са равни. Така че, този ъгъл ще бъде равен на този ъгъл ето там. Сега, използваме много подобен аргумент за този ъгъл, но сега използваме двете вертикални прави. Знаем, че тази страна можем да я продължим като права. Можем да я продължим, ако искаме, като права, ето така, вертикална права. И можем да продължим тази като вертикална права. Знаем, че тези двете са вертикални. Те просто измерват... те са успоредни на оста Оу, вертикалната ос. Така че тази права е успоредна на тази права тук. А оранжевата права пресича двете успоредни прави. И този ъгъл съответства на този ъгъл ето тук. И ето, че го имаме. Те са равни. Съответните ъгли на пресечните на две успоредни прави са сходни. Ние научихме това в часовете по геометрия. И тук го имаш. Всички съответни... този ъгъл е равен на този ъгъл. Този ъгъл е равен на този ъгъл. И след това тези и двата са 90 градуса. Така че това са два подобни триъгълника. И двата триъгълника са подобни. Нека само напиша това отдолу, за да знаем, че и тези двата са подобни триъгълници. И сега можем да използваме отношението на двете страни. Например, ако означим дължината на тази страна а. И кажем, че тази страна има дължина b. И кажем, че тази страна има дължина с. А тази страна има дължина d. Ние знаем в действителност това отношение, защото това са подобни триъгълници, отношението между съответните страни, отношението на а към b ще бъде равно на отношението на с към d. Е равно на отношението на c към d. И това отношение е буквално определението за наклон, изменението н;а у върху изменението на х. И то е постоянно, защото всички правоъгълни триъгълници, които създаваш между тези две точки, ние току-що показахме, че ще бъдат подобни. А ако те са подобни, тогава отношението на дължините на тази вертикална част от правата към тази хоризонтална част от правата е постоянна величина. Това е определението за наклон. Така че наклонът е постоянна величина за дадена права.