Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:7:46

Видео транскрипция

В момента разсъждавам върху това, че ако ни е даден някакъв триъгълник... и тук имаме триъгълник ABC... какво представляват медианите на триъгълника и как са свързани една с друга, и дали имат някакви интересни свойства. Може би предполагаш, че имат. Медианата е – ако започнем от един от върховете... нека започнем от този тук... и след това разполовим срещуположната страна. Това тук ще бъде медиана. Тя започва от тук и разполовява тази страна ето тук. Така че разстоянието от B до... нека наречем това D... е равно на разстоянието от D до C. Сега да направим това с всяка една страна. Мога да начертая медиана тук, ето така. Нека наречем тази точка E. Разстоянието от A до E ще бъде равно на разстоянието от E до C. Въпреки, че е в известен смисъл малко изкривена, но това се доближава достатъчно. И след това ще начертаем друга медиана. Няма да го доказвам в това видео, но всичките медиани – и това е друго хубаво нещо, което знаеш, когато имаш три прави, които винаги се пресичат в една точка, знаеш, че всичките медиани се пресичат в една точка. Те всички сe пресичат в една точка. Всички имат една обща пресечна точка в центъра. Нека го начертаем по този начин. Няма да го доказвам в това видео – и това разстояние... нека наречем тази точка тук F. Това разстояние тук, това разстояние ето тук е равна на това разстояние там. И точката, в която тези медиани се пресичат, се нарича медицентър или център на тежестта. Когато започнеш да учиш физика, ако всъщност това е равностранен триъгълник и го хвърлиш, то той ще се завърти около медицентъра ето тук. Но ние ще го изучаваме геометрично засега. Нека наречем това медицентър. Вече стигнахме до F, така че нека наречем медицентъра G ето тук. Това, което е хубаво за медицентъра, е, че ако хвърлиш този триъгълник, ако той имаше еднородна маса, щеше да се върти около медицентъра (центъра на тежестта). Но това, което е дори още по-ясно тук, е, че можем да видим, че сме разделили този триъгълник на шест по-малки триъгълници. Това, което е наистина интересно, дори тези да не са непременно еднакви триъгълълници, но те имат еднакво лице. И именно това ще докажем в това видео. Че всички тези 6 триъгълника имат една и съща площ. Сега, за да започнем, просто ще разгледам два, ще разгледам различни двойки триъгълници. Нека разгледам тези два триъгълника ето тук. Нека разгледаме тези два триъгълника тук. И за да покажа, че тези двата имат едно и също лице, просто ще потърсим един много прост принцип. Представяйки си, че завъртаме, само тези два триъгълника тук... Просто ако само завъртим тези два триъгълника, ще изглеждат по следния начин. Те ще изглеждат по следния начин. Нека дам най-доброто от себе си да го начертая. Където това ще бъде точка G. Дори ще се опитам да я означа със същия цвят като точка G. Това е тази страна там. Това е точка C. Това е точка B, това е точка B. И после това тук ще бъде втората част от тази медиана ето там. Това там ще бъде точка D. Сега, знаем и аз не го начертах достатъчно хубаво тук. Знаем, че тази дължина е равна на тази дължина тук. И тези два триъгълника, ако започнем да мислим за лицето, имат една и съща основа. А ние знаем, че лицето е равно на 1/2 от основата по височината. Така че те определено имат една и съща основа. Какво става с техните височини? Те имат и еднакви височини. И двете техни височини са точно толкова високи. Те и двата имат еднакви височини. И така, и двата имат еднаква основа, и двата имат еднаква височина. При тъпоъгълния триъгълник височината стои извън него. Така че това може да бъде малко по-нелогично. Ако имаш тъпоъгълен триъгълник като този, казвам тъпоъгълен, защото това е повече от 90 градуса, височината стои извън триъгълника. Но това е добре. И двата от тези триъгълници имат еднаква основа и еднаква височина, така че те трябва да имат едно и също лице. Ако този тук има лице х, този тук ще има също лице х. И може да използваш точно същата логика, за да кажеш: "Добре, виж, този приятел и този приятел имат еднаква основа, и имат еднаква височина. Така че, ако този тук има лице у, тогава този тук също ще бъде с лице у. Те ще имат едно и също лице. И след това накрая можем да направим същото нещо, за тези двата тук горе. Те и двата имат една и съща основа. Това беше BF е равно на FA. И те и двата имат една и съща височина. Пускаме ето така една височина. Ако наречем това лице – ако означим това лице тук Z, можеш да означиш това също лице Z. И така, дотук показахме, че можем да разделим това на три двойки триъгълници, които имат едно и също лице. Но сега ще покажем, че всички те имат едно и също лице. За да направим това, можем да се обърнем към същия принцип, но ще го направим с различен набор от триъгълници. Сега нека разгледаме триъгълник BAE. Да разгледаме триъгълник BAE. Лицето на триъгълник BAE, лицето на BAE ще бъде равно на z плюс z, плюс y. z плюс z, плюс y. И нека разгледаме лицето на триъгълник BEC ето тук. Това ще бъде, този триъгълник тук, ще бъде x плюс x, плюс y. Лицето на BEC ще бъде х плюс х, плюс у, но по същия принцип те и двата имат една и съща основа, и те и двата имат една и съща височина. Можем да пуснем една височина ето така. Този е тъпоъгълен, така че височината стои извън него, но те имат точно една и съща височина. Така че тези две лица трябва да бъдат равни едно на друго. Имаш z – нека само събера това. Сега имаме 2z плюс y ще бъде равно на, ще бъде равно на 2х плюс у. 2х плюс у. Изваждаме у от двете страни. Получавате 2z е равно на 2х. Разделяме двете страни на 2. Получаваме z е равно на х. Така че можем да кажем... можем да напишем тук х, и х там. Знаем, че всички тези ще имат еднакви лица, но все още трябва да се погрижим за тези у-ци тук. И за да направим това, просто трябва един вид да завъртим начина, по който го гледаме и сега да разгледаме триъгълник ADC. Нека направя това с различен цвят. Триъгълник ADC, който щриховам тук, триъгълник ADC, чието лице, лицето на ADC ще бъде 2у плюс х, е равно на 2у плюс х. И след това да разгледаме триъгълник... да видим кой цвят не съм използвал все още. Нека използвам това зеленото. Триъгълник ADB. Лицето на триъгълник ADB ще бъде равно на... ами, можеш да кажеш, че е 2z плюс х. Но ние знаем, че z са равни на х. Това наистина е х плюс х, плюс х. Това наистина е равно на, ADB е равно на 3х. Имаме същата идея тук. ADB има тази основа, която е същата като основата на ADC, и те и двете имат еднаква височина. Можем да начертаем височината ето така, можем да пуснем една височина ето така. Те имат еднаква височина. Просто се обръщаме към същия принцип отново и отново, и отново. И така, тези триъгълници трябва да са еднакви помежду си. Получаваме 2у плюс х е равно на 3х. Изваждаме х от двете страни. Получаваме 2у е равно на 2х или у е равно на х. И така, това е наистина ясен резултат. Тръгваш от всеки един от върховете на даден триъгълник към срещуположната страна и разполовяваш тази срещулежаща страна, и правиш това три пъти, имаш три медиани. Тези три линии се наричат медиани, като те се пресичат в медицентъра. Знаеш ли кое е наистина интересно – те разделят триъгълника на 6 по-малки триъгълника с еднакво лице.