Задача за упражнение: Точки върху две окръжности

Точка А е с координати (–5; 5). Това тук е –5. Тук имаме 1, 2, 3, 4, 5. Това там е 5. Точка А се намира тук. Така че това е точка А, точно тук, с координати (–5; 5). И тя е център на окръжност А, която още няма да чертая, защото не знам радиуса ѝ. Точка В се намира... нека подчертая тези тук с подходящ цвят... точка В е с координати (3; 1). Така, 1, 2, 3... 1. Т.е. това тук е точка В, която е център на окръжност В. Точка Р е с координати (0; 0), така че тя се намира тук в началото. И е част от окръжностите А и В. Това е голямо количество информация. Понеже ни казва, че ако двете точки лежат на двете окръжности, то това означава, че това тук е радиусът на В, отдалечен на това разстояние от центъра. И това ни казва, че имаме радиуса на кръг А като разстояние от центъра, който е в точка А. Та нека намерим какви са всъщност тези радиуси. Можем да си представим... нека начертая единия радиус, или радиуса на окръжност А. Сега знаем, че щом Р е част от него, тогава тази отсечка може да се смята за радиуса на окръжност А. И може да се използва формулата за разстояние; но това, което ще видим, е че формулата за разстоянието реално идва от Питагоровата теорема. Един вид формулата за разстоянието ни дава радиуса тук, това е разстоянието между тези две точки. И радиусът, или разстоянието между тези две точки на квадрат, ще е равно на промяната в стойността на х между А и Р. От там промяната в стойностите на х... можем да я запишем като (–5 минус 0) на квадрат. –5 минус 0, цялото на квадрат. Това е промяната в х, (–5 – 0)^2, плюс промяната на у, (5 – 0)^2, което ни дава разстоянието между тези две точки, което е дължината на радиуса на квадрат. То е равно на (–5)^2 + 5^2. Или можем да кажем, че радиусът е равен на квадратен корен от... това е 25, това е 25, 50. 50 можем да го запишем като 25 по 2. Така че това е равно на квадратен корен от 25, умножено по квадратен корен от 2, което е 5 пъти по квадратен корен от 2. Така че това разстояние тук е 5 пъти по квадратен корен от 2. Вече казах, че тук има същата зависимост като в Питагоровата теорема. Защо? Ами, ако тук построим един правоъгълен триъгълник, можем да погледнем това разстояние. То ще представлява абсолютната стойност на –5 минус 0. Или можем да кажем, че това е –0 минус 5. Разстоянието тук е 5. Това разстояние представлява разстоянието между 0 и 5 в посоката на у. Това е 5. Питагоровата теорема ни казва, че 5 на квадрат, което е 25, плюс 5 на квадрат, още 25, ще е равно на хипотенузата на квадрат. Тук имаме точно това. Сега може би си казваш: "Чакай, чакай, чакай, това тук съдържаше –5 на квадрат, докато тук имахме плюс 5." Причината да можем да направим така, се крие в това, че когато повдигнем на квадрат, минусите изчезват. Формулата за разстоянието можем да я запишем по този начин, където вземаме абсолютната стойност. И тогава става повече от ясно, че това действително е Питагоровата теорема. Ще имаме 5 на квадрат плюс 5 на квадрат. 5 на квадрат плюс 5 на квадрат. И причината да не е нужно да правим това е поради факта, че знакът няма значение, когато повдигаме на квадрат. Винаги резултатът ще е положителна стойност. Но и по двата начина сме намерили този радиус. Нека сега намерим радиуса на окръжност В. Абсолютно същата идея имаме. Радиусът на окръжност В на квадрат е равен на промяната в х... Така че можем да го запишем като 3 минус 0 или като 0 минус 3. Но ще го запишем като 3 минус 0. 3 минус 0 на квадрат плюс 1 минус 0 на квадрат. Така радиусът, или разстоянието между тези две точки, е равно на квадратен корен от... да видим, това е 3 на квадрат плюс 1 на квадрат. Тук имаме 9 плюс 1. Резултатът е корен квадратен от 10. Радиусът на В е квадратен корен от 10. Сега, питат ни коя от следните точки лежи на окръжност А, на окръжност В или на двете окръжности. Всичко, което сега трябва да направим, е да погледнем тези точки. Ако тази точка представлява разстоянието, изразено чрез квадратния корен от 10 от точка В, тогава тя лежи на окръжността. Тя е на разстояние един радиус. Окръжността представлява геометричното множество от всички точки, които са на радиус разстояние от центъра. Ако сме на разстояние 5 пъти корен квадратен от 2 от тази точка, тогава тя лежи на окръжност А. Ако я няма в нито една от окръжностите, то тя не се намира там. Или може да е на двете. Нека проверим и двете, една по една. Точка С е с координати (4; –2). Нека тук да използвам нов цвят. Така, точка С... нека е оранжево... отбелязвам, че С е в 1, 2, 3, 4, –2. Ето тук Сякаш сме доста близо. Само да кажа, че това е един чертеж на ръка, поради което не е съвършен. Точка С е там. Вижда се близо. Но нека всъщност проверим. Разстоянието между точка С и точка D, то е разстоянието на квадрат, ще е равно на промяната в стойностите на х. Така че можем да кажем, че 4 минус... опитваме се, това са С и В, 4 – 3 на квадрат плюс (–2 –1)^2, което е равно на... това е 1 на квадрат плюс –3 на квадрат. Така че нашето разстояние на квадрат е равно на 10. Или нашето разстояние е равно на квадратен корен от 10. Така че то е върху окръжността. Ако искаме да начертаем окръжност В, тя ще изглежда така. И пак да кажа, че чертая на ръка, така че не е перфектно точно. Но ще изглежда някак... ще начертая една част от нея, изглежда като нещо такова. Това е точно на един радиус разстояние, нека го запиша, това се намира върху окръжност В. Нека сега погледнем тази точка. Точката (5; 3). Ще оцветя в розово. Така, 1, 2, 3, 4, 5 и 3. Това е с близко, но нека проверим, просто за всеки случай. Сега разстоянието ни е равно на... нека го запиша по този начин – нашето разстояние на квадрат ще представлява промяната на х на квадрат. Така че (5 –3)^2 плюс (3 – 1)^2 е промяната в у. (3 – 1)^2 . Така че нашето разстояние ще е равно на... всъщност не искам да изпускам толкова много стъпки в решението. Да видим, това е 2 на квадрат, което е 4, плюс 2 на квадрат, което е още 4. Така че нашето разстояние ще е равно на квадратен корен от 8, което е равно на корен квадратен от 2 по 4, което си е равно на 2 пъти по корен квадратен от 2. Корен квадратен от 4 е 2. И тогава имаме само останалото 2 под корена. Това е едно различно разстояние от квадратния корен от 10. Тази точка тук определено не лежи на окръжност В. И като разгледаме, можем да видим, че няма да лежи и на окръжност А. Това разстояние тук, както го виждаме, е по-голямо от 5 по квадратен корен от 2. Това е вярно и за точка С. Точка С е на доста по-голямо разстояние от 5 по квадратен корен от 2. Може да се види нагледно. Те са на много по-голямо разстояние от един радиус от А. Така че тази точка тук не лежи на нито една от окръжностите. И накрая имаме точката (–2; 8). Нека намеря... свършват ми цветовете. Предполагам ,че пак мога да използвам жълто. (–2; 8) т.е. имаме –2 и 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Ето я тук. Това е точка Е. Като разгледаме, това разстояние – определено е голямо. Разглеждайки го, просто така на око, то е по-голямо от един радиус от В. Така че тази точка няма да лежи на окръжност В. А гледайки я и откъм точка А, изглежда е доста по-близо до точка А. Дори не изглежда да е по-близо, отколкото точка Р. И само като изследваме, изглежда можем да разберем, че няма да е нито едната, нито другата. Но ако искаме, можем да проверим това сами. Можем просто да намерим разстоянието между тези две точки. Нашето разстояние на квадрат ще представлява промяната в стойностите на х. От там (–2 минус –5)^2 плюс нашата промяна в у. Така че имаме (8 – 5)^2. И това е нашето разстояние на квадрат, то ще е равно на –2 минус –5. Това прави –2 плюс 5. Следователно това ще е 3^2 + 3^2. И тук се вижда Питагоровата теорема. Това разстояние тук е 3. Това разстояние тук, промяната в х, е 3. Промяната в у е 3. 3^2 плюс 3^2 ще е разстоянието на квадрат, хипотенузата на квадрат. Така че нашето разстояние на квадрат ще е... или мога да кажа, разстоянието – пропускаме няколко стъпки – е равно на корен квадратен от... можем да запишем това като 9 по 2, или разстоянието е равно на 3 пъти по корен квадратен от 2. Радиусът на окръжност А е 5 по корен квадратен от 2, а не 3 по корен квадратен от 2. Така че това всъщност ще се намира вътре в окръжността. И ако искаме да начертаем окръжност А, тя ще изглежда така. Ето така. Точка Е е вътре в нея. Точките D и С са извън окръжност А. Единствената точка, която лежи на двете окръжности, е точка С.