Радианът като отношение на дължината на дъгата към радиуса

В това видео ще разгледаме един от начините за измерване на ъгли. Има няколко начина за измерване на ъгли. Може би си срещал/а в други видео уроци да използваме градуси, но сега ще ти представя едно ново понятие. А може би то също ти е познато, а това е просто различна гледна точка към това понятие. Даден е този ъгъл АВС, и искаме да намерим начин да определим колко е мярката на ъгъл АВС. Един от начините да разглеждаме това е, че този ъгъл отсича някаква дъга. В този случай той отсича дъгата АС. Можем да видим, че ако ъгълът беше по-малък, тогава мярката му щеше да е по-малка, и щеше да отсича по-малка дъга. Дължината на тази дъга щеше да е по-малка. Ако ъгълът беше по-голям, или имаше по-голяма мярка, ако изглеждаше например ето по този начин, тогава дъгата щеше да е по-голяма. Можем ли да дефинираме мярката на един такъв ъгъл да бъде равна на дължината на дъгата, която той отсича? Това дали е добър начин за измерване на ъгли? Може би веднага ще се сетиш за един проблем, който е, че дължината на тази дъга, която ъгълът отсича, не зависи само от ъгъла, не зависи само от мярката на ъгъла, но зависи и от това какъв е радиусът на окръжността. Ако радиусът е по-голям, тогава дъгата ще има по-голяма дължина. Ще направя още една окръжност. Значи имаме ъгъл със същата мярка, този централен ъгъл ето тук, можеш да кажеш, че ъгъл АВС все още е същият, но сега той отсича различни дъги от тези две окръжности. Имаме тази дъга ето тук, ще я нарека DE, и дължината на дъгата DE не е равна на дължината на дъгата АС. Значи не можем да измерваме един ъгъл, ако този ъгъл е централен ъгъл в окръжността, само чрез дължината на дъгата, която той отсича. . Можем да махнем този знак за равенство ето тук. (между мярката на ъгъла и дължината на дъгата) Но какво можем да направим тогава? Може би разбираш, че тези два сектора, които току-що създадохме, можем един вид да кажем, че сектор АВС и сектор DBE, това са подобни сектори. Ние изобщо не сме свикнали да говорим за подобни сектори, но какво означава нещата да са подобни? Имаме подобие, ако можем да изобразим едно нещо в друго нещо, една фигура в друга фигура, и то не само с изометрични трансформации, но също така и с мащабирания. В този случай, ако взема сектор АВС, и ако го мащабирам с коефициент по-голям от 1, то съществува някакъв коефициент на хомотетия, с който можем да го мащабираме, за да получим сектор DBE. Интересното за това е, че ако две неща са подобни, това означава, че отношенията между съответните елементи са равни помежду си. Например отношението на дължината на дъгата АС към дължината на отсечката ВС е равно на отношението на дължината на дъгата DE към дължината на отсечката ВЕ. И може би това е добра мярка за един ъгъл. И това наистина е мярка, която използваме в геометрията и в тригонометрията и в цялата математика. Тя се нарича радианна мярка за ъгъл (радиан). Равна е на отношението на дължината на дъгата, която ъгълът отсича, върху радиуса на окръжността. Точно това, което видяхме в тези два примера. Да видим можем ли да направим това по-разбираемо. Нека да имаме окръжност, която има център ето тук. Нека да означим центъра на окръжността с F. Сега ще начертая един ъгъл. Всъщност мога да направя прав ъгъл. Нека това да е F. Нека тази точка да е G. Нека тази точка да е Н. Да кажем, че радиусът ето тук е два метра. Каква ще бъде дължината на дъгата, отсечена от ъгъл GFH? Това е 1/4 от дължината на цялата окръжност, поне както аз го начертах. Значи цялата дължина или обиколка, ще го запиша ето тук, обиколката е равна на 2 по пи, по радиуса, което е 2 по пи, по 2 метра, значи обиколката е равна на 4 по пи метра. Ако дължината на дъгата е 1/4 от обиколката, тогава тя е пи метра. Въз основа на дължината на дъгата и на този радиус – каква е мярката на ъгъл GFH в радиани? Можем да кажем, че мярката на ъгъл GFH в радиани е равна на отношението между дължината на дъгата и радиуса. Значи мярката е пи метра върху два метра. Тук метрите ще се съкратят. Остава само пи върху 2, какво е това пи върху 2? Това са пи върху 2 радиана! Тук можем да помислим защо се наричат радиани. Звучи сходно на радиус. Един начин да го обясним е, че когато делим тази дължина на дължината на радиуса, виждаме колко пъти радиусът се съдържа в интересуващата ни дъга. Например в този случай, един радиан ще изглежда ето така. Ако вземем същата дължина (посочва радиуса) и просто дойдем ето така, (минава с червено дъгата HG) то ще получим 1 цяло и нещо радиуси. Затова казваме, че това са 1 цяло и нещо радиани. Ако вземем пи, делено на 2, ще получим малко повече от 1. Ще получим 1 цяло и – не знам, нула, седем и нещо.