Текущ час:0:00Обща продължителност:8:41

Доказателство: Радиусът е перпендикулярен на допирателната права

Видео транскрипция

Тук имаме окръжност с център точката О и имаме допирателна права към окръжността. Нека означа тази права. Нека нарека тази права L. Виждаме, че точка А е точката, в която допирателната права се допира до окръжността, и после начертаваме радиус от центъра на окръжността до точка А. В това видео искаме да докажем, че този радиус и тази допирателна права се пресичат под прав ъгъл. Искаме да докажем, че те се пресичат под прав ъгъл. Първата стъпка към това е да докажем, че точка А е най-близката точка от права L до центъра на окръжността. Искам да докажа, че точка А е най-близката точка от правата L до точка О. До точка О. Окуражавам те да спреш видеото и да видиш дали можеш самостоятелно да докажеш това. Просто помисли за всяка друга точка на правата L. Избери която и да е друга произволна точка на правата L. Може да е тази точка тук. Може да е тази точка тук. Може да е тази точка ето тук. Веднага можеш да видиш, че тя стои извън окръжността. И ако стои извън окръжността, ще избера тази точка тук, просто, за да стане малко по-ясно на чертежа, че ако стои извън окръжността, за да стигнем от точка О до тази точка, ще нарека тази точка В, трябва да преминеш дължината на радиуса, трябва да преминеш с дължината на радиуса, а после трябва да изминеш още някакво разстояние. Тази дължина на отсечка ОВ очевидно ще е по-дълга от дължината на радиуса, понеже трябва да преминеш с радиуса, за да стигнеш до самата окръжност и после трябва да преминеш още някакво разстояние за всяка точка, която стои извън окръжността. Точка А е единствената точка, по дефиниция това е допирателна права, това е единствената точка, която стои на окръжността. Всяка друга точка от правата L стои извън окръжността, така че ще е по-надалеч. Точка А, надявам се, че това ти дава увереност, понеже ако избереш всяка друга точка, тя ще стои извън окръжността, така че ще трябва да изминеш дължината на радиуса и още някакво разстояние. Надявам се да се увери, че точка А е най-близката точка от L до центъра на окръжността. Все още не сме готови, трябва да се убедим, че ако имаме една точка и една права, отсечката, която свързва точката до най-близката точка от правата, до тази първоначална точка, тя ще е перпендикулярна на правата. Нека си дадем малко пространство. Искаме да докажем, че отсечката, която свързва точка извън правата... извън правата и най-близката точка на правата... най-близката точка на правата, е перпендикулярна на правата. Искаме да си кажем: "Ако тук имаме някаква права L и ако вземем една точка извън правата, да кажем, че искаш точка извън правата, да кажем, че това тук е тази точка, точка О, и искаш отсечката, свързваща точката извън правата до най-близката точка от правата." Най-близката точка от правата – да кажем, че това е най-близката точка от правата – искаме да се уверим, че отсечката, която ги свързва – нека направя това в нов цвят – че отсечката, която ги свързва, ще е перпендикулярна на правата, че ще преминава право надолу ето така, че ще е перпендикулярна. Ще докажа това с опровергаване. Ще приема, че не е перпендикулярна. Приемаме, че отсечката, която свързва – това е малко многословно – една точка извън правата и най-близката точка на правата, най-близката точка от правата, не е перпендикулярна на правата. Как мога да визуализирам това? Мога да начертая правата си ето тук. Това е правата L, и да кажем, че тук е точката О. Точката О. Да кажем, че най-близката точка от правата L до точка О – да кажем, че е ето тук – че ако свържа тези две точки, това не е перпендикулярно на правата L. Това е най-близката точка, нека я наречем точка А, и да кажем, че отсечката, която свързва тези двете, не е перпендикулярна на правата. Нека приемем, че не е перпендикулярна. Този ъгъл ето тук не е 90 градуса. Ако приемем, че... причината това да е доказателство чрез опровергаване, е че мога да покажа, че ако това не е 90 градуса, винаги мога да намеря точка, която ще е по-близка, друга точка на правата L, която ще е по-близка до точка О, което опровергава факта, че това трябва да е най-близката точка, че А трябва да е най-близката точка на правата L до О. Как винаги намирам по-близка точка? Построявам един правоъгълен триъгълник. Мога да построя правоъгълен триъгълник ето така. Мога да построя един правоъгълен триъгълник ето така и виждаме, че това разстояние... нека наречем разстоянието тук 'а' и можем да наречем основата на този триъгълник 'b', нека го направя в различен цвят. 'а', 'b', това е основата на правоъгълния триъгълник, и хипотенузата е разстоянието от О до А. Можем да наречем това 'с'. Знаем от Питагоровата теорема, че а на квадрат плюс b на квадрат... нека направя това... ще е равно на с на квадрат. Ще е равно на с на квадрат. Тоест, b на квадрат... ако имаме нормален триъгълник тук, това тук ще е някаква положителна стойност, така че 'а' ще е по-малко от 'с'. Това ни води до заключението... понеже ако тук има положителна стойност и 'а' и 'с' са положителни, всички тези разстояния са положителни, а това ни казва, че 'а' трябва да е по-малко от 'с'. Една страна на нормален правоъгълен триъгълник, която не е хипотенуза, приемаме, че има някакво лице, ще е по-къса от хипотенузата. Хипотенузата е най-дългата страна. Тоест, 'а' ще е по-малка от 'с', а ако 'а' е по-малка от 'с', тогава сме открили друга точка, нека наречем тази точка, не знам, използвах доста букви тук, нека наречем тази точка D. D ще е по-близка. D е по-близка. D е по-близка. Току-що показахме противоречие. Приехме, че А беше най-близката точка на правата L до точката О, но приехме, че отсечката, която ги свързва, не сключва 90-градусов ъгъл. Ако той не е 90-градусов ъгъл, тогава можем да начертаем перпендикуляр и да намерим по-близка точка, което е опровержение на факта, че А се очаква да е най-близката точка. Това ни води до опровержение. Опровержение. Опровержение. Понеже можеш да намериш, че това не е най-близката точка, винаги можеш да намериш по-близка точка, следователно отсечката, която свързва една точка извън правата до най-близката точка на правата, трябва да е перпендикулярна. Трябва да е перпендикулярна. Тоест, отсечката, която свързва една точка извън правата до най-близката точка на правата, трябва да е перпендикулярна на правата. Трябва да е перпендикулярна на правата. Надявам се, че се уверихме в идеята, че ако имаш един радиус и точката, при която той пресича една допирателна права до окръжността, това оформя 90-градусов ъгъл. Радиусът и допирателната права.