If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Доказване с помощта на трансформации на втори признак за еднаквост на триъгълници (по съответно равни страна и два ъгъла)

Можем да докажем втори признак за еднаквост на триъгълници (по съответно равни страна и два ъгъла Angle-Side-Angle или Angle-Angle-Side) с помощта на определението за еднаквост чрез изометрични трансформации. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В това видео ще докажем, че ако имаме два триъгълника, които имат по една съответно равна страна, така че тези сините страни във всеки от двата триъгълника са с еднаква дължина, и които имат две двойки съответно равни ъгли, т.е. съответните ъгли имат равни мерки, значи този ъгъл с една сива дъгичка тук има същата мярка като този ъгъл тук, а този ъгъл с две оранжеви дъгички, ъгъл АСВ има същата мярка като ъгъл DFE. Ще докажем, че ако имаме два ъгъла и страна съответно равни, тогава винаги можем да намерим серия от изометрични трансформации, при която единият триъгълник се изобразява в другия. Друг начин да го формулираме е, че тези триъгълници са еднакви съгласно определението за еднаквост чрез изометрични трансформации. Причината да запиша ъгъл, страна, ъгъл, а после ъгъл, ъгъл, страна, е за да видим, че те са еквивалентни. Когато знаем два ъгъла в триъгълника, тогава знаем и мярката на третия ъгъл. Например в този случай ето тук, ако знаем, че имаме две двойки съответно равни ъгли, които имат еднакви мерки, тогава това означава, че третата двойка ъгли също трябва да има равни мерки. Ще знаем и това. Ако се замислиш над това, ако знаем страната и прилежащите ѝ ъгли, това е еквивалентно да знаем просто страна и кои да е два ъгъла от триъгълника. Защото когато знаем два ъгъла в триъгълника, третият ъгъл също ще има равна мярка на съответния на него в другия триъгълник. Сега просто ще покажа една серия от изометрични трансформации, която може да изобрази триъгълник АВС в DEF. Първата стъпка, за която сигурно се досещаш, вече го правихме – ако имаме две отсечки с равна дължина, то те са еднакви. Съществува серия от изометрични трансформации, която изобразява едната отсечка в другата. Сега искам да изобразя страната АС върху страната DF. Начинът, по който мога да го направя, е да транслирам точка А върху точка D, и ще означа образа като точка A'. След като направя това, тази отсечка АС ще се изобрази ето така. Просто я скицирам. Тя ще лежи в тази посока. След което целият триъгълник ще дойде с нея. Да видим, оранжевата страна АВ ще се изобрази ето така. После можем да направим друга изометрична трансформация, да направим ротация около точка D или точка А', тези две точки съвпадат, така че точка С да съвпадне с точка F. По този начин направихме две изометрични трансформации, които доведоха до това, че изобразихме страната АС върху страната DF. Значи точка А', образът на точка А, сега съвпада с точка D, а точка F съвпада с точка С'. Въпросът е къде ще се изобрази точка В. Тук е важно да помним, че мерките на ъглите се запазват. Понеже мерките на ъглите се запазват, ще имаме или случай, в който този ъгъл – да видим, това е ъгъл САВ, който запазва мярката си. Тогава това ще бъдат точките С', A' и после точка B', която ще лежи някъде върху това рамо. Ако запазим мярката на ъгъл САВ, точка В' ще лежи някъде върху това рамо. Понеже един ъгъл се определя от две рамена, които се пресичат в неговия връх или започват от неговия връх. Понеже този ъгъл се запазва, това е ъгълът, който се образува от тези два лъча – можем да кажем от лъча СА и лъча СВ. Знаем, че точка В' лежи някъде на този лъч. Значи точка В' също лежи някъде върху този лъч. Мисля, че се досещаш какво се случва. Ако точка В' – понеже тези два ъгъла се запазват, понеже този ъгъл и този ъгъл се запазват, точка B' трябва да лежи върху тези два лъча, като те се пресичат в една точка, тази точка ето тук, която съвпада с точка Е. Значи точка В' ще се намира тук. Това е един сценарий, в който показахме, че съществува серия от изометрични трансформации, при която този триъгълник се изобразява в този триъгълник. Но съществува още един случай. Възможно е да се запазват тези два ъгъла. Но вместо тези ъгли да се намират – долу вдясно, ако мога да кажа така, долу вдясно спрямо тази синя страна, си представи, че ъглите се запазват, но са от другата страна. Значи ъглите се запазват, като са от другата страна на тази синя страна. Сега въпросът е в този случай къде ще се намира точката B'. Всъщност ще начертая този случай малко по-прецизно. Ще копирам тези ъгли. Ще направя една дъга, ето по този начин, и после ще измеря това разстояние. То е ето такова. Правихме това и в други видео уроци, когато опитвах да копирам ъгли. Значи това е това разстояние, а сега ще нанеса тази точка ето тук, на същото разстояние. Ако ъглите са от тази страна на тази страна, DF или A'C', тогава знаем, че точката В' ще лежи някъде върху този лъч. Ще се постарая да го начертая акуратно – някъде върху този лъч. Тя ще лежи някъде върху лъча, образуван от другия ъгъл. Да видим дали мога да го начертая акуратно. Ще направя една такава дъга. Май стана малко по-голяма, отколкото ми е нужно, но се надявам, че това ще ни свърши работа. Измерих това разстояние ето тук. Ако измеря това разстояние ето тук, това ще ни доведе ето тук. Значи точка B' лежи или на този лъч, или може би лежи, или лежи на този лъч, който минава през тази точка и през тази точка. Тя трябва да лежи на този лъч. Виждаш къде се пресичат тези два лъча, това е ето тук. Значи в този сценарий, ако ъглите се запазват, но са от другата страна на синята страна, тогава точка B' лежи ето тук. Сега можем да добавим само още една изометрична трансформация към нашата серия от изометрични трансформации. Това ще е осева симетрия с ос страната DF или A'C'. Защо ни устройва това – да изобразим точка В' в точка Е? Защото осевата симетрия също е изометрична трансформация, така че ъглите се запазват. Когато "прехвърлим" този ъгъл от другата страна, той се запазва. Този ъгъл също "се прохвърля" от другата страна, като неговата мярка се запазва. Което означава, че получихме първия сценарий, в който тези лъчи се прехвърлят върху тези лъчи, а точка B' ще лежи в пресечната им точка. И така постигнахме нашата цел. Ако имаме два ъгъла, ако имаме два ъгъла, тогава знаем мярката и на третия ъгъл, ако знаем, че два ъгъла и една страна в триъгълника имат съответно равни мерки или дължина, когато разглеждаме ъгъл или страна, това означава, че тези два триъгълника са еднакви триъгълници.