Основно съдържание

Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 3

Урок 3: Еднакви триъгълници

Еднаквост на триъгълници - преговор

Преговори признаците за еднаквост на триъгълници и ги използвай, за да определиш дали два триъгълника са еднакви.

Защо са толкова важни признаците за еднаквост на триъгълници?

Две фигури са еднакви тогава, и само тогава, когато можем да ги наложим една върху друга с помощта на изометрична трансформация. Тъй като при изометричните трансформации се запазват дължините и мерките на ъглите, всички съответстващи си страни и ъгли са еднакви. Това означава, че един начин да преценим дали два триъгълника са еднакви, е да измерим всички страни и ъгли.

Признаците за еднаквост на триъгълниците ни дават по-ефективен начин на работа! В повечето случаи само с

3

от размерите можем да установим дали два триъгълника са еднакви.

Можем да разделим всеки многоъгълник на триъгълници. Като използваме еднаквостта на триъгълниците, имаме сигурен начин да работим и с по-сложни фигури.

Какви са признаците за еднаквост на триъгълници?


Страна-ъгъл-страна (Първи признак за еднаквост на триъгълници)	Ако две страни и ъгъл между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл между тях от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. За $△ A B C$ ‍ и $△ D E F$ ‍ е дадено: $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{D E}$ ‍ $∠ B ≅ ∠ E$ ‍ $\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{E F}$ ‍ Тъй като те са еднакви, можем да наложим $\overset{―}{A B}$ ‍ върху $\overset{―}{D E}$ ‍ с помощта на изометрични трансформации. Изометричните трансформации запазват дължината, така че точка $C^{'}$ ‍ лежи върху окръжност с център точка $E$ ‍ и радиус $E F$ ‍. Изометричните трансформации запазват мерките на ъглите и ъгълът може да се отвори във всяка от полуравнините, дефинирани от $\overset{―}{D E}$ ‍. Точка $F$ ‍ е върху сечението на окръжността и лъча в едната полуравнина. Точка $C^{'}$ ‍ трябва да е или в точка $F$ ‍ (и тогава сме готови), или в точката на пресичане на окръжността и лъча в другата полуравнина. При осевата симетрия се запазват дължините и ъглите. Следователно, ако $C^{'}$ ‍ е във втората пресечна точка, можем да намерим образа на $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ при осева симетрия спрямо $\overset{―}{D E}$ ‍, за да наложим $△ A B C$ ‍ върху $△ D E F$ ‍.
Ъгъл-страна-ъгъл (Втори признак за еднаквост на триъгълници)	Ако страна и двата прилежащи на нея ъгли от един триъгълник са съответно равни на страна и двата прилежащи на нея ъгли от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. За $△ A B C$ ‍ и $△ D E F$ ‍ е дадено: $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{D E}$ ‍ $∠ A ≅ ∠ D$ ‍ $∠ B ≅ ∠ E$ ‍ Тъй като те са равни, можем да наложим $\overset{―}{A B}$ ‍ върху $\overset{―}{D E}$ ‍ с помощта на изометрични трансформации. Изометричните трансформации запазват мерките на ъглите и ъгълът може да се отвори във всяка от полуравнините, дефинирани от $\overset{―}{D E}$ ‍. Точка $F$ ‍ е върху двата лъча в едната полуравнина. Точка $C^{'}$ ‍ трябва да е или в точка $F$ ‍ (и тогава сме готови), или в точката на пресичане на лъчите в другата полуравнина. При осевата симетрия се запазва дължината. Следователно, ако $C^{'}$ ‍ е във втората пресечна точка, можем да намерим образа на $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ при осева симетрия спрямо $\overset{―}{D E}$ ‍, за да наложим $△ A B C$ ‍ върху $△ D E F$ ‍.
Ъгъл-ъгъл-страна (Втори обобщен признак за еднаквост на триъгълници)	Ако страна и два ъгъла от един триъгълник са съответно равни на страна и два ъгъла от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви (ако страните са еднакво разположни спрямо ъглите). Сумата от мерките на вътрешните ъгли в един триъгълник е $180 °$ ‍. Следователно, ако знаем мерките на два от ъглите, можем да изчислим мярката на третия ъгъл. Когато знаем мерките на всички ъгли, можем да използваме тези два от тях, които са прилежащи на известната ни страна, а после да използваме втория признак за еднаквост на триъгълници.
Страна-страна-страна (Трети признак за еднаквост на триъгълници)	Ако страните на един триъгълник са съответно равни на страните от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. За $△ A B C$ ‍ и $△ D E F$ ‍ е дадено: $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{D E}$ ‍ $\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{E F}$ ‍ $\overset{―}{A C} ≅ \overset{―}{D F}$ ‍ Тъй като те са еднакви, можем да наложим $\overset{―}{A B}$ ‍ върху $\overset{―}{D E}$ ‍ с помощта на изометрични трансформации. При изометричните трансформации се запазва дължината, така че $C^{'}$ ‍ е сечението на две окръжности: едната с център точка $D$ ‍ и радиус $D F$ ‍, и другата с център точка $E$ ‍ и радиус $E F$ ‍. Точка $F$ ‍ лежи и на двете окръжности. Точка $C^{'}$ ‍ трябва да е или в точка $F$ ‍ (и тогава сме готови с решението), или да е в другата пресечна точка на двете окръжности. Тъй като точките $D$ ‍ и $E$ ‍ са равноотдалечени от всяка от точките $F$ ‍ и $C^{'}$ ‍, те трябва да лежат върху симетралата на $\overset{―}{F C^{'}}$ ‍. Ако $C^{'}$ ‍ е във втората пресечна точка, можем да приемем, че $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ е образ при осева симетрия спрямо $\overset{―}{D E}$ ‍, за да наложим $△ A B C$ ‍ върху $△ D E F$ ‍.
*Хипотенуза-катет (Признак за еднаквост на правоъгълни триъгълници)*	Ако хипотенуза и катет от един правоъгълен триъгълник са съответно равни на хипотенуза и катет от друг правоъгълен триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.. Ако знаем дължините на две от страните в правоъгълен триъгълник, можем да намерим дължината на третата страна с помощта на питагоровата теорема. ${хипотенузата}^{2} = (катет 1)^{2} + (катет 2)^{2}$ ‍ Има само едно положително решение на уравнението, което означава, че третата страна в триъгълника трябва да е съответно равна на третата страна в другия триъгълник (трети признак за еднаквост на триъгълници).

Искаш ли да научиш повече за признаците за еднаквост на триъгълници? Виж това видео.

Защо няма признак страна-страна-ъгъл за еднаквост на триъгълници?

Когато две двойки съответни страни и една двойка съответни ъгли (като ъглите не са между страните) са съответно равни, тогава триъгълниците може да са еднакви, но не винаги.

В този случай обикновено няма достатъчно информация, когато ъгълът лежи срещу по-късата от двете известни страни в триъгълника. Трябва да сме особено внимателни, ако чертежът не е в мащаб.

За

△ A B C

△ D E F

е дадено:

$∠ B ≅ ∠ E$ ‍
$\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{E F}$ ‍
$\overset{―}{A C} ≅ \overset{―}{D F}$ ‍

Тъй като те са еднакви, можем да наложим

\overset{―}{B C}

върху

\overset{―}{E F}

с помощта на изометрична трансформация. Ако

∠ E

се отваря в различна полуравнина в сравнение с

∠ B^{'}

, намираме симетричния образ на

△ A^{'} B^{'} C^{'}

спрямо

\overset{―}{E F}

. При изометричните трансформации се запазва дължината, така че точка

A^{″}

лежи върху окръжността с център

F

и радиус

D F

. Изометричните трансформации запазват мерките на ъглите, така че

A^{″}

лежи върху лъча

\vec{E D}

Обаче за някои триъгълници има две възможни пресечни точки, които могат да определят различни триъгълници. Разгледай кои триъгълници са многозначни с тази симулация.

Можем ли да сме сигурни, че двата триъгълника не са еднакви?

Един триъгълник има само

3

страни и

3

ъгъла. Ако знаем

4

различни размера на страни или

4

различни мерки на ъгли, тогава знаем, че триъгълниците не могат да са еднакви. Понякога знаем размерите, защото те са дадени на чертежа. В други случаи можем да използваме питагоровата теорема или факта, че сумата от вътрешните ъгли в триъгълника е 180 градуса, за да намерим липсващите ни размери.

Понякога просто няма достатъчно информация, за да определим дали триъгълниците са еднакви, или не са. Ако имаме само два съответно равни ъгли или само две съответно равни страни, тогава триъгълниците може да са еднакви, но не можем да сме сигурни.

Чертежите не винаги са направени в мащаб, така че не можем да приемем, че два триъгълника са или не са еднакви въз основа на това как изглеждат на чертежа. Това е особено важно, когато са дадени две страни и ъгъл, който не е между тях. Ако съответно равните ъгли са остри и чертежът не е в мащаб, тогава нямаме достатъчно информация, за да определим дали двата триъгълника са еднакви, или не, без значение какво виждаме на чертежа.

Провери знанията си

Задача 1

Еднакви ли са триъгълниците?
Триъгълниците не са начертани в съответния мащаб.

Искаш ли да опиташ да решиш още задачи като тази? Виж това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

aliceworld2021
Публикувано преди година. Пряка връзка до поста на aliceworld2021: “може ли повече информация...”
може ли повече информация за признаците за еднаквост на два триъгълника？
Бутонът води до страницата за създаване на профилБутонът води до страницата за създаване на профил
(2 гласа)
Отговор

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.