Геометрична текстова задача: Радиуси на Земята и Луната

"Размерите на Земята и Луната са в такова отношение помежду си, че създават златен триъгълник. Представено от φ (фи), Златното отношение е единственото число, което има математическото свойство, че квадратът му е с 1 повече от него." Има цяло видео за φ в Кан Академия, и ти предлагам да го изгледаш. Ще те накара да настръхнеш. И ако гледаш това и направиш тази задача тук, това ще те накара да настръхнеш още повече. Но нека опитаме да се справим с тази задача. Тук казват: "φ + 1 е равно на φ на квадрат...", което само по себе си е интересно. И тук просто са записали как изглежда φ. φ е приблизително 1,61803. И продължава още и още, и още. Плюс 1 ще е 1,61803 и т.н. и т.н. на квадрат, което е 2,61803. Това е просто друг начин за изразяване на това. Казват ни: "Като приложим питагоровата теорема към това уравнение, се получава правоъгълен триъгълник със страни φ, корен квадратен от φ и 1." Какво ни казват? Да кажем...това изглежда като теоремата на Питагор. Ако направим това а на квадрат, ако направим това b на квадрат, и после това с на квадрат, можеш да го разгледаш като изразяване на отношението между страните на един правоъгълен триъгълник, където хипотенузата с е равна на φ, тази страна, по-късата страна b, е равна на 1... корен квадратен от 1 е просто 1, и по-дългата страна, но не най-дългата, а по-дългата от двете страни, които не са хипотенузи, ще е корен квадратен от φ. С това първо изречение ни казват всичко това. "Както е показано по-долу"... и това е малко зашеметяващо. "Както е показано по-долу, радиусите на Земята и Луната са пропорционални на φ." Това е удивително. Ако вземеш радиуса на Земята... Нека направя това в цвят, който можеш да видиш. Ако вземеш радиуса на Земята – това е този радиус ето тук. Продължавам да променям цветовете и имам малко проблеми. Ако вземеш радиуса на Земята и го добавиш към радиуса на Луната, сборът на тези два радиуса, отношението на този сбор към радиуса на Земята е корен квадратен от φ. И това те кара да се замислиш за Вселената поне за малко. Трябва да спреш видеото и да се замислиш. Кой го интересува този въпрос в задачата? Трябва да отговорим и на този въпрос, но това е свръхестествено, понеже това не е единственото място, където това се вижда. Вижда се в природата и в математиката. Удивително число е, поради множество причини, и това е просто свръхестествено. Но имаме да решаваме задача. "Ако радиусът на Земята е 6 371 километра, тогава какъв е радиусът на Луната?" Какъв е радиусът на Луната? Нека преначертаем този триъгълник тук, но нека го начертаем в километри. Ето тук мерките са изразени чрез земния радиус. Това тук е 1 земен радиус. Ако това е 1 земен радиус, тогава цялото разстояние, сборът от радиусите на Луната и Земята е корен квадратен от π земни радиуса, а хипотенузата на този триъгълник е φ земни радиуса. Това е изразено в земни радиуси, но нека начертаем триъгълника отново и нека го начертаем в километри. Ще опитам да го начертая подобно на това. Ако го чертая в километри... ще направя много приблизителен чертеж. Това тук е Земята. Просто ще начертая част от Земята. Не трябва да я чертая цялата. Мисля, че схващаш идеята. И това тук е Луната. Мисля, че схвана идеята. Казват ни, че радиусът на Земята е 6 371 километра. Също ни казват каква е тази височина, височината на този правоъгълен триъгълник, и тя е корен квадратен от φ земни радиуса. Ако го запишем в километри, това ще е 6 371 по корен квадратен от φ километра. Корен квадратен от φ земни радиуса. Това е цялото разстояние ето тук. Сега искат да намерим радиуса на Луната. Искат да намерим това разстояние ето тук. Нека означим това 'r' за радиус на Луната. Как можем да намерим r? Знаем дължината на тази отсечка. Тази отсечка, която ще направя в зелено, е радиусът на Земята. Земята е приблизително сферична. Така че можем да кажем, че това разстояние ето тук също е 6 371 километра. Това се превръща в доста лесна задача. Можем да запишем сбора от радиусите по два различни начина. Можем да запишем това като радиуса на Луната плюс радиуса на Земята, който е 6 371 километра. И просто ще приемем, че правим всичко в километри. Можем да запишем сбора на радиусите като 6 371 по корен квадратен от φ. 6 371 по корен квадратен от φ. Отново, сборът на радиусите е корен квадратен от φ по дължината на земния радиус. Тук го имаме изразено като земни радиуси. Тук го имаме изразено в километри. Това е радиусът на Земята. Умножаваш това по корен квадратен от φ, получаваш комбинирания радиус. Сега просто трябва да намерим r. Можем да извадим 6 371 от двете страни и получаваме, че r е равно на 6 371 по корен квадратен от φ, минус 6 371. И ако искаме, можем да изнесем 6 371 от двата члена и ще получим r равно на 6 371 по корен квадратен от φ – 1. Корен квадратен от φ – 1. И сме готови. Мисля, че това е доста готино и изящно.